Teorema

126. COROLARIO 1° Cada diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales.
¿En qué teorema se funda esta proposición?

127. COROLARIO 2° Los segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas son iguales.
¿Cómo se demuestra este corolario aplicando la proposición del N° 125?

128. COROLARIO 3° Dos paralelas cualesquiera se hallan a una misma distancia en todos sus puntos.Si AB y CD son paralelas. ¿Qué puede afirmarse de las perpendiculares bajadas a CD de puntos cualesquiera de AB? (N° 127).

PROPOSICION XXVII. TEOREMA

129. Si cada lado de un cuadrilátero es igual a su opuesto, el cuadrilátero es un paralelogramo.

Sean ABCD un cuadrilátero en que BC es igual a AD y AB es igual a DC.

Demostrar que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
Demostración:Trácese la diagonal AC.
En los triángulos ABC, CDA,
BC = AD, Por Hipót
AB = DC, Por Hipót
AC = AC Ident.
Por consiguiente,
∆ ABC = ∆ CDA
(Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro, los dos triángulos son iguales.)
∴ ∠BAC = ∠DCA,
∠ACB = ∠CAD.
∴ AB es ∥ a DC,
Eigualmente
BC es ∥ a AD
(Si dos rectas situadas en un mismo plano forman con una trasversal ángulos alternos-internos iguales, esas dos rectas son paralelas.)
∴ ABCD es un paralelogramo
Esta proposición es la reciproca de la proposición XXVI.

PROPOSICION XXVIII. TEOREMA

130. Si dos lados de un cuadrilátero son iguales y paralelos, los otros dos también lo son, y por lo tanto elcuadrilátero es un paralelogramo.
Sea ABCD un cuadrilátero en que el lado AB es igual y paralelo al lado DC.
Demostrar que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
Demostración: Trácese la diagonal AC.
En los triángulos ABC, CDA,
AC = AC Ident.
AB = DC, Por hipót.
∠BAC = ∠DCA.
(Si dos paralelas son cortadas por una trasversal, los ángulos alternos-internos soniguales.)
∴ ∆ ABC = ∆ CDA.
(Si dos lados de un ∆ y el ⦟ comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el ⦟ comprendido del otro ∆, los dos ∆ son iguales.)
∴ BC = AD, y ∠ACB = ∠CAD;
∴ BC es ∥ a AD.
(Si dos rectas situadas en un mismo plano forman con una trasversal ángulos alternos-internos iguales, esas dos rectas son paralelas.)
Ahora bien,
AB es ∥ a DC.Por Hipót.
∴ ABCD es un paralelogramo.

PROPOSICION XXIX. TEOREMA

131. Las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales.
Sea ABCD un paralelogramo cuyas diagonales AC y BD se cortan en el punto O.
Demostrar que: AO = OC
Y que BO = OD
Demostración: Si demostramos que el ∆ AOB es igual al COD, o que el BOC lo es alAOD, habremos demostrado que el teorema, puesto que los dos lados homólogos de triángulos iguales son iguales.
En los ∆ AOB y COD,
AB = CD,
(Los lados opuestos de un cuadrilátero son iguales.)
∠BAO = ∠DCO,
∠OBA = ∠ODC.
(Si dos paralelas son cortadas por una trasversal, los ángulos alternos-internos son iguales.)
Por consiguiente,
∆AOB = ∆COD.
(Dos triángulos son iguales si tienen igualesrespectivamente un lado y los ángulos adyacentes a ese lado.)
∴ AO = OC
Y también
BO = OD

PROPOSICION XXX. TEOREMA

132. Si dos lados adyacentes de un paralelogramo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a los de otro, los dos paralelogramos son iguales.
Sean ABCD, A’B’C’D’ dos paralelogramos en que AB = A’B’, AD = A’D’, y ∠A = ∠A’.
Demostrar que los dos paralelogramos soniguales.
Demostración: Colóquese el cuadrilátero ABCD sobre el A’B’C’D’ de tal suerte que AB coincida con su igual A’B’.
El lado AD tomará la dirección de A’B’.
(Siguese esto de que se supone que ∠A = ∠A’.)
D caerá en D’.
(Siguese esto de que se supone que AD = A’D’.)
Ahora bien, DC y D’C’ son ∥s a A’B’ que pasan por el punto D’.
∴ DC tomará la dirección de D’C’.
(Por un punto...