Teorema

Teorema. Para todo a en R,
Demostración

Existen axiomas (enunciado matemático que se admite como verdadero y no se tiene que demostrar. Los axiomas son las verdadesbásicas) para los números reales que se rigen en las operaciones: adición y multiplicación. Son los siguientes.
A1 Cerradura, la suma o multiplicación de dos números reales, siempre daun número real.
Sean a, b E R
a + b e R
M1 (a) (b) E R

A2 Conmutativa. El orden en que se agrupen los sumandos o factores, no altera el resultado de la operación.
Sí setiene que:
a, b E R a + b = b + a
M2 (a) (b) = (b) (a)

A3 Ley Asociativa. La suma o la multiplicación, no se alteran, por la forma en que se agrupen los sumandos o factores,respectivamente.
Sean a, b, c E R Entonces: a + (b+c) = (a+b) + c
M3 a (bc) = (ab) c

A4 Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo. Se define con este nombre alnúmero cero, ya que cuando se suma con cualquier número real, el resultado es el mismo número.
Sí a E R
Entonces: existe un elemento 0 tal que 0 E R de tal forma que: a + 0 = 0 + a =a

A5 Para cada a en R, hay un y sólo un elemento, al que denotamos por “-a”, tal que a+ (-a)= 0 = -a+a. (La existencia y unicidad del inverso aditivo.)
M4 Ley de existenciay unicidad del elemento neutro multiplicativo. Se define con este nombre, al número uno, ya que todo número multiplicado por uno, da el mismo número.
Sí a E R
Entonces: existe unelemento 1/1 E R
De tal forma que: (1)(a) = (a)(1) = a
D Ley distributiva. Para todo a,b y c en R, a(b+c)=ab+ac y (b+c)a= ba+ca
A4
A5A3
M4
D
A4
M4
A5