Teoremas De Conjuntos

Universidad Nacional Escuela Matem´ticas a

Matem´tica para Inform´tica I a a

Teoremas sobre Teor´ de Conjuntos ıa
A continuaci´n se presentan algunos teoremas importantes en el tema de Teor´de Conjuntos, que o ıa se utilizar´n a lo largo del curso. a Teorema 1 Para todo tr´ de conjuntos A, B, C tal que A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C ıo Teorema 2 Sea A un conjunto. Entonces 1. ∅ ⊆ A 2. Paracualquier subconjunto X, X ⊆ ∅ si y solo si X = ∅ Teorema 3 Sean A, B, C conjuntos. Entonces se cumplen las siguientes propiedades. 1. A ∪ B = B ∪ A 2. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 3. A ⊆ B si y solo siA ∪ B = B 4. A ∪ A = A

Teorema 4 Sean A, B, M, N conjuntos cualesquiera. Entonces se cumple que si A ⊆ B y M ⊆ N entonces (A ∪ M ) ⊆ (B ∪ N ). Teorema 5 Sean A, B, C conjuntos. Entonces se cumplenlas siguientes propiedades. 1. A ∩ B = B ∩ A 3. A ⊆ B si y solo si A ∩ B = A

2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 4. A ∩ ∅ = ∅ Teorema 6 Sean A, B, M, N conjuntos cualesquiera. Entonces se cumple que si A⊆ B y M ⊆ N entonces (A ∩ M ) ⊆ (B ∩ N ). Teorema 7 Sean A,B,C conjuntos. Entonces se cumplen las siguientes propiedades. 1. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

1Teorema 8 Sean A, B, C conjuntos. Entonces se cumplen las siguientes propiedades. 1. A − A = ∅ 2. (A − ∅) = A ∧ (∅ − A) = ∅ 3. (A − B) = (B − A) si y solo si A = B 4. [(A − B) − C] ⊆ [A − (B − C)]Teorema 9 (Leyes de De Morgan) Sean A, B, E conjuntos tales que A, B ⊆ E. Entonces: 1. (A ∪ B) = A ∩ B 2. (A ∩ B) = A ∪ B

Teorema 10 Sea A un subconjunto, donde A ⊆ U, donde U es el conjuntouniverso. Entonces: 1. A = A. 2. U = ∅ 3. ∅ = U 4. A ∪ A = U. 5. A ∩ A = ∅.

Teorema 11 Sean A, B conjuntos tales que A, B ⊆ U. Si A ⊆ B entonces B ⊆ A. Teorema 12 Sean A, B conjuntos tales que A, B ⊆ U.Entonces (A − B) = A ∩ B. Teorema 13 Sean A, B, C conjuntos. Entonces se cumplen las siguientes propiedades. 1. A∆B = B∆A 2. (A∆B)∆C = A∆(B∆C) 3. A∆A = A 4. (A∆B) ∩ C = (A ∩ C)∆(B ∩ C)

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