Teoremas de energia

Análisis estructural 1 Fac. Ingeniería, U.A.Z.

Diego Miramontes De León Resumen

Cálculo de desplazamientos por trabajo virtual

Uno de los métodos más comunes para calcular los desplazamientos en las estructuras es el de la carga unitaria. Aunque se puede recurrir directamente a las expresiones simples propuestas por el método, es útil identificar que el método se basa en dos principiosbásicos. Estos son el concepto de energía y la ley de la conservación de la energía. En el primero se deducen los teoremas de Castigliano y de Engesser, mientras que con el segundo se formula el método de la carga unitaria. Este método se presenta para el caso particular de vigas en flexión y armaduras. Teoremas de Energía Castigliano 1879 .- Energía de deformación elástica restringida a estructurascon diagramas lineales de carga-desplazamiento (comportamiento elástico). Engesser 1889 .- Energía complementaria, sin especificar que la estructura tenga un diagrama lineal. Asumiendo el diagrama carga-desplazamiento mostrado :

P
∆
P+δP P P A

L

∆

0

d∆

∆ ∆ + δ∆

Fig. 1. Estructura sujeta a carga axial

Fig. 2. Diagrama carga-desplazamiento

El trabajo realizado para unincremento de ∆ es P•δ∆ y por definición este trabajo es igual al incremento en la energía de deformación elástica. Entonces el incremento total de la energía elástica U cuando la carga aumenta de 0 a P1 será :
1

U =

∫

∆1

0

Pd∆

Esta integral es igual al área bajo la curva de la línea 0A. De esa misma ecuación puede obtenerse :

∂U =P ∂∆

Part I del Teorema 1 de CastiglianoSi la energía total es parcialmente derivable con respecto a un desplazamiento, el resultado da la carga debido a ese desplazamiento en su línea de acción. Puesto que la línea 0A es una recta, las áreas arriba y bajo de ella serán iguales, entonces :

∫

∆1

0

Pd∆ = ∫ ∆dP
0

P1

de donde se deduce que :

∂U =∆ ∂P

Parte II del Teorema 1 de Castigliano

Si la energía total esparcialmente derivable con respecto a una carga aplicada, el resultado da el desplazamiento de esa carga en su línea de acción.

El segundo teorema de la energía elástica o teorema de compatibilidad de Castigliano trata de las relaciones entre la energía de deformación elástica y la acción de una fuerza en una estructura estáticamente indeterminada. En este se establece que la energía elásticatotal parcialmente derivable con respecto a la carga redundante es igual a la falta inicial de ajuste de dicho elemento. Si no hay falta de ajuste la derivada parcial será igual a cero :

∂U =0 ∂R
Esta ecuación representa una condición para el valor mínimo de la energía de deformación elástica. El incremento en tal energía es, sin embargo, igual al trabajo correspondiente al desplazamiento delas cargas aplicadas. De esta manera, la relación implícita en la ecuación anterior expresa también una condición para el valor mínimo del trabajo realizado (Principio del trabajo mínimo) Como aplicación del segundo teorema, supóngase un marco doblemente empotrado :

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Pv

Ph

A M

B V

H

Fig. 3. Estructura estáticamenteindeterminada de 3er grado Si las redundantes se consideran las reacciones en B (soporte completamente fijo), según la parte II del teorema se tendrá :

∂U ∂U ∂U = = =0 ∂H ∂V ∂ M
Esto implica que existen tres condiciones de compatibilidad que representan tres ecuaciones para resolver las tres incógnitas. Primer teorema de la energía complementaria Para una relación no lineal entre cargadesplazamiento laenergía de deformación elástica sigue siendo

P A dP

∫

∆1

0

Pd∆

El área a la izquierda de la curva 0A y el eje P es complementaria. Esta tiene las dimensiones que la energía elástica.

∫

P1

0

∆dP

y se conoce como energía mismas

∆

0

d∆

Fig. 4. Diagrama no lineal carga-desplaz. Puesto que C =

∫

P1

0

∆dP ,

∂C =∆ ∂P
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Si la energía...