Teoremas de Euclides
Páginas: 3 (502 palabras)
Publicado: 23 de agosto de 2015
Teoremas de Euclides
De Euclides (330 a.C al 227 a.C) se sabe muy poco, con certeza, acerca de sus vida. Su gran reputación se debe sin duda a su obra titulada Los Elementos Geométricos, conocidasimplemente por Los Elementos.
Además de estas y otras obras, Euclides escribió Los Datos que trata de la resolución de problemas, dándose elementos de la figura y determinándose otros. LosPorismos es una de sus obras perdidas; se cree que trataba de los Lugares Geométricos y de proposiciones sobre transversales. Muchos piensan que esta ha sido la mejor obra de Euclides.
A continuación sepresentan dos Teoremas de Euclides, uno referido a un cateto (en un triángulo rectángulo) y otro referido a la altura.
Teorema de Euclides referido a un cateto
“En un triángulo rectángulo la medida decada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”
Demostración:
Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y se proyectan loscatetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha):
donde
DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)
AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa)
c = p+ q
Por semejanza (~) de triángulos, el ΔACB ~ ΔCDB (son semejantes)
Luego;
Que es lo mismo que:
De forma análoga se tiene que ΔACB ~ ΔADC (a la derecha) ,
entonces
Que es lo mismo que:
Ver: PSU: Geometría; Pregunta 09_2005
Vistas las fórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides también de la siguienteforma:
“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.
Por lo tanto,
Ejemplos:
1) En la figura a laderecha, determinar a,
si c = 7 y q = 4
2) En la figura a la izquierda, determinar b
si c = 4 y p = 1
Teorema de Euclides relativo a la altura
“En un triángulo rectángulo la altura...
De Euclides (330 a.C al 227 a.C) se sabe muy poco, con certeza, acerca de sus vida. Su gran reputación se debe sin duda a su obra titulada Los Elementos Geométricos, conocidasimplemente por Los Elementos.
Además de estas y otras obras, Euclides escribió Los Datos que trata de la resolución de problemas, dándose elementos de la figura y determinándose otros. LosPorismos es una de sus obras perdidas; se cree que trataba de los Lugares Geométricos y de proposiciones sobre transversales. Muchos piensan que esta ha sido la mejor obra de Euclides.
A continuación sepresentan dos Teoremas de Euclides, uno referido a un cateto (en un triángulo rectángulo) y otro referido a la altura.
Teorema de Euclides referido a un cateto
“En un triángulo rectángulo la medida decada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”
Demostración:
Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y se proyectan loscatetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha):
donde
DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)
AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa)
c = p+ q
Por semejanza (~) de triángulos, el ΔACB ~ ΔCDB (son semejantes)
Luego;
Que es lo mismo que:
De forma análoga se tiene que ΔACB ~ ΔADC (a la derecha) ,
entonces
Que es lo mismo que:
Ver: PSU: Geometría; Pregunta 09_2005
Vistas las fórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides también de la siguienteforma:
“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.
Por lo tanto,
Ejemplos:
1) En la figura a laderecha, determinar a,
si c = 7 y q = 4
2) En la figura a la izquierda, determinar b
si c = 4 y p = 1
Teorema de Euclides relativo a la altura
“En un triángulo rectángulo la altura...
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