teoremas de las poligonales

atem
atic

as

CAP´
ITULO 5

´
INTRODUCCION

,D

5.1.

ept

o. d

eM

POLIGONALES Y
POL´
IGONOS

ntio
q

uia

Definici´n 32. Sean en el plano los puntos A1 , A2 , . . . , An con n ≥ 3, con
o
la condici´n de que tres puntos consecutivos no son colineales.
o

eA

La uni´n de los segmentos A1 A2 , A2 A3 , . . . , An−1 An , se llama POLIGOo
NAL, (Figura 1.a).rsid
ad
d

´
Los puntos A1 , A2 , . . . , An se llaman VERTICES DE LA POLIGONAL.
Los segmentos A1 A2 , A2 A3 , . . . , An−1 An se llaman LADOS DE LA POLIGONAL.

Un

ive

Si se une An con A1 se obtiene una poligonal cerrada llamada POL´
IGONO,
(Figura 1.b,...,1.g).
Los lados del pol´
ıgono constituyen EL CONTORNO O LA FRONTERA
´
DEL POLIGONO.
La suma de las medidas de los ladosdel pol´
ıgono se llama PER´
IMETRO
´
DEL POLIGONO.

127

CAP´
ITULO 5. POLIGONALES Y POL´
IGONOS

128

A4

A7
A3

A5

A4

A1

A2

A3
A1

A2

A2
A1

A5

A6

A3

A1

(a)

A5

A4

A4

A2

(b)

A1

A2

A6

(c)

A3

(d)

A3

A2

A1
A1
A4

(e)

A3

A5

A4

atem
atic

as

A3

A2

(f)

(g)

o. d

eM

Figura1.

ept

Definici´n 33 (Pol´
o
ıgono simple). Un pol´
ıgono se llama SIMPLE si:

,D

i) Todos los v´rtices son distintos. (la Figura 1.d no lo es).
e

ntio
q

uia

ii) Los lados se intersectan solamente en los v´rtices. (la Figura 1.c no lo
e
es).
iii) Ning´n v´rtice est´ en el interior de un lado. (la Figura 1.b no lo es).
u e
a

rsid
ad
d

eA

Nota: en el conjuntode todos los pol´
ıgonos simples nos interesa un subconjunto, que le daremos el nombre de pol´
ıgonos C-simples.

Un

ive

Definici´n 34.
o
i) Un pol´
ıgono simple se denomina C-simple si para todo lado del
pol´
ıgono se cumple que la recta l que contiene al lado determina un
semiplano que contiene a los dem´s v´rtices del pol´
a e
ıgono. (Figura 2.a).
La intersecci´n de todosestos semiplanos (que es una figura convexa)
o
se le llama el interior del pol´
ıgono C-simple.
Un punto perteneciente al interior del pol´
ıgono C-simple se le llama punto interior del pol´
ıgono. Como el interior de los pol´
ıgonos Csimples es convexo, convendremos en llamar, de aqu´ en adelante, a
ı
estos pol´
ıgonos C-simples como pol´
ıgonos CONVEXOS
´
ii) Un pol´
ıgono no C-simple,se llama CONCAVO (Figura 2.b).

´
5.1. INTRODUCCION

129

D

l

D
C

Q
C

Q

P

P
A

B

as

A
B

atem
atic

l

(a) Convexo o C-simple

(b) Concavo

o. d

eM

Figura 2.

(b) Irregular

(c) Irregular

ive

(a) Regular

rsid
ad
d

eA

ntio
q

uia

,D

ept

iii) Un pol´
ıgono convexo que tiene sus angulos y lados congruentes sellama
´
REGULAR (Figura 3.a).

Un

Figura 3.

Si no cumple alguna de estas condiciones es IRREGULAR, (Figura
3.b y 3.c).
iv) Un punto Q se denomina PUNTO EXTERIOR de un pol´
ıgono convexo, si no es punto frontera y si no es punto interior.

CAP´
ITULO 5. POLIGONALES Y POL´
IGONOS

130

v) El conjunto de puntos exteriores se llama EXTERIOR del pol´
ıgono.

atem
atic

asEjercicio: demostrar que el interior de un pol´
ıgono C-simple es un conjunto no vac´
ıo.
Ejercicio: para todo P, Q en el interior de un pol´
ıgono C-simple se cumple
que P Q es subconjunto del interior del pol´
ıgono.(Ver Figura 2. (a))
Ejercicio: para todo X, Y pertenecientes al pol´
ıgono C-simple se cumple que
ıgono es el conjunto vac´
ıo.
Int{XY } intersectado con el pol´
Definici´n35.
o

eM

i) Al segmento que une dos v´rtices no consecutivos de un pol´
e
ıgono se
´
llama DIAGONAL DEL POLIGONO.

ept

o. d

ii) El angulo formado por dos lados consecutivos de un pol´
´
ıgono convexo
´
´
se le llama ANGULO DEL POLIGONO.

uia

,D

iii) Los angulos que forman un par lineal con los angulos de un pol´
´
´
ıgono
´
convexo se llaman ANGULOS...