Teoremas de Matemáticas

Teorema de Menelao


Triángulo ABC cortado por la recta EDF.
El teorema de Menelao, atribuido a Menelao de Alejandría, es un teorema acerca de triángulos en geometría plana.
Teniendo en cuenta los puntos A, B, C que forman el triángulo ABC, y los puntos D, E, F que se encuentran en las líneas de BC, AC, AB, entonces el teorema establece que D, E, F son colineales si y sólo si:Teorema de Ceva


El teorema de Ceva, caso 1: las tres líneas son concurrentes en un punto O dentro de ABC.


El teorema de Ceva, caso 2: el punto O se encuentra fuera de ABC.
El teorema de Ceva es un teorema de geometría elemental.
El teorema establece que dado un triángulo ABC, y los puntos D, E, y F que se encuentran sobre los lados BC, CA, y AB respectivamente, los segmentos AD, BE y CF sonconcurrentes si y solo si

Donde AF es la distancia entre A y F (la distancia en una dirección sobre una línea es definida como positiva, y en la dirección opuesta es definida como de signo negativo).
Existe una forma trigonométrica equivalente del teorema de Ceva, que establece que , AD,BE,CF son concurrentes si y solo si



Triángulos de Morley
El teorema de Morley conlleva un total de18 triángulos equiláteros. El triángulo anteriormente descrito en la formulación del teorema, denominado primer triángulo de Morley, tiene sus tres vértices con las siguientes coordenadas trilineales respecto del triángulo original ABC:
Vértice A = 1 : 2 cos(C/3) : 2 cos(B/3)
Vértice B = 2 cos(C/3) : 1 : 2 cos(A/3)
Vértice C = 2 cos(B/3) : 2 cos(A/3) : 1
Otro de los triángulos de Morley quetambién es triángulo central se denomina segundo triángulo de Morley y viene dado por los siguientes vértices:
Vértice A = 1 : 2 cos(C/3 − 2π/3) : 2 cos(B/3 − 2π/3)
Vértice B = 2 cos(C/3 − 2π/3) : 1 : 2 cos(A/3 − 2π/3)
Vértice C = 2 cos(B/3 − 2π/3) : 2 cos(A/3 − 2π/3) : 1
El tercero de los 18 triángulos equiláteros de Morley que también es central se denomina tercer triángulo de Morley, y vienedado por los siguientes vértices:
Vértice A = 1 : 2 cos(C/3 − 4π/3) : 2 cos(B/3 − 4π/3)
Vértice B = 2 cos(C/3 − 4π/3) : 1 : 2 cos(A/3 − 4π/3)
Vértice C = 2 cos(B/3 − 4π/3) : 2 cos(A/3 − 4π/3) : 1
Los triángulos primero, segundo y tercero de Morley son homotéticos dos a dos. Otro triángulo homotético está formado por los tres puntos X en el circuncírculo del triángulo ABC en el que la rectaXX −1 es tangente al cicuncírculo, donde X −1 denota el conjugado isogonal de X. Este triángulo equilátero, denominado triángulo circuntangencial, tiene los siguientes vértices:
Vértice A = csc(C/3 − B/3) : csc(B/3 + 2C/3) : −csc(C/3 + 2B/3)
Vértice B = −csc(A/3 + 2C/3) : csc(A/3 − C/3) : csc(C/3 + 2A/3)
Vértice C = csc(A/3 + 2B/3) : −csc(B/3 + 2A/3) : csc(B/3 − A/3)
Un quinto triángulo, tambiénhomotético a los demás, se obtiene al rotar el triángulo circuntangencial π/6 sobre su centro. Este triángulo, el triángulo circunnormal, tiene los siguientes vértices:
Vértice A = sec(C/3 − B/3) : −sec(B/3 + 2C/3) : −sec(C/3 + 2B/3)
Vértice B = −sec(A/3 + 2C/3) : sec(A/3 − C/3) : −sec(C/3 + 2A/3)
Vértice C = −sec(A/3 + 2B/3) : −sec(B/3 + 2A/3) : sec(B/3 − A/3)
Centros de triángulos relacionadosEl centroide del primer triángulo de Morley viene dado por
Centro de Morley = X(356) = cos(A/3) + 2 cos(B/3)cos(C/3) : cos(B/3) + 2 cos(C/3)cos(A/3) : cos(C/3) + 2 cos(A/3)cos(B/3)
El primer triángulo de Morley es perspectivo al triángulo ABC, y el perspector es el punto
Primer centro de Morley-Taylor-Marr = X(357) = sec(A/3) : sec(B/3) : sec(C/3)


Teorema de Viviani


La suma de laslongitudes, ℓ + m + n, es igual a la altura del triángulo.
El teorema de Viviani, llamado así en honor de Vincenzo Viviani, enuncia que la suma de las distancias desde un punto a cada uno de los lados de un triángulo equilátero es igual a la la altura del triángulo.
El teorema se puede extender a polígonos equiláteros y polígonos equiangulares. Específicamente, la suma de las distancias desde...