Teoremas de Trigonometría

Teorema de los senos
Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.








Teorema del coseno
En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

Teorema de las tangentes


Teorema del seno


En un triángulocada lado es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.






Ejercicios
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.






Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.





Teorema del coseno


En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de loscuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.



Ejercicios
Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.





El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos deuna cuerda de longitud 36 m.





Área del triángulo


El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente.

El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.

El área de un triángulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia circunscrita.

Elárea de un triángulo es igual al producto del radio de la circunferencia inscrita por su semiperímetro.

Fórmula de Herón:

p es el semiperímetro






Tras la presentación de esta pequeña serie, hoy hablaremos del Teorema de Pitágoras.
Este teorema, bien conocido por todos, es de los más célebres de la historia de la Matemática. ¿Quién no ha recitado alguna vez eso de: “En untriángulo rectángulo, la suma de los catetos cuadrados es igual a la hipotenusa cuadrada”, o cualquiera de las otras formas de nombrarlo?
Claro que la definición formal seria algo así:
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Fuente: Geometría Divertida; con licencia Creative Commons
Vamos, que este teorema sólo funciona contriángulos rectángulos, que, recordemos, son aquellos que tienen un ángulo recto.[1]Recordemos también que, en un triángulo rectángulo se llaman “catetos” a los dos lados adyacentes al ángulo recto, e “hipotenusa” al lado opuesto.

Y… ¿sobre los demás triángulos? ¿Tienen alguna relación de este estilo?
La respuesta es que… más o menos, pero primero, interpretemos algebraicamente el teorema “detoda la vida”:[2]

Donde, a y b, son los catetos y h es la hipotenusa. Y con los demás, ¿cómo quedaría? Pues para los acutángulos[3] sería:

Es decir, que la suma de los catetos cuadrados es mayor que la hipotenusa cuadrada.
Y con los obtusángulos[4], se tiene que:

Es decir, que la suma de los catetos cuadrados es menor que la hipotenusa cuadrada.
Y ahora diréis, avispados lectores, “¿Yesto qué tiene que ver con lo que nos estabas contando en la introducción de los seno-sé-qué y co-no-se-cuantos?”. Bien, pues están relacionados por la “circunferencia goniométrica”, de la cual hablaremos más adelante.
La temida raíz cuadrada de 2
Quizás se dé el caso de que, querido lector, no sepas por qué la raíz cuadrada de dos es tan temida si, total, sólo es un número, ¿no?
Empecemos desdeel principio, ¿qué es una raíz cuadrada? Bien, podemos definir una raíz cuadrada como un proceso[5] que nos dice qué número elevado al cuadrado nos da el número de partida.
Simplificado al lenguaje de los números, éste último seria:

Recordemos que esa flecha bi-direccional significa que si es verdad una de las igualdades, la otra lo es también, y que si una es falsa, la otra ídem....