Teoremas energeticos

CATEDRA DE ESTRUCTURAS III

FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P. TEOREMAS ENERGETICOS
ÍNDICE

1. 2. 3. 4. 4.1 4.2 5. 6. 7.

INTRODUCCIÓN......................................................................................................... 2 TRABAJO EXTERNO.................................................................................................. 2 TRABAJO INTERNO DEDEFORMACIÓN................................................................. 3 ESTRUCTURAS LINEALES ....................................................................................... 4 Trabajo Externo y Trabajo Externo Complementario ............................................... 4 Trabajo Interno y Trabajo Interno Complementario ................................................. 4 LEY DECLAPEYRON................................................................................................. 5 LEY DE BETTI ............................................................................................................ 6 LEY DE MAXWELL ..................................................................................................... 8

1 −www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm

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1. INTRODUCCIÓN En este capítulo veremos una serie de temas que serán útiles para el estudio del comportamiento de las estructuras y que además están íntimamente relacionados con la física a través de la mecánica. La mecánica define la Energía como aquella capacidad que tienen los sistemas mecánicos de generar trabajo. La estructura como tal esun sistema de este tipo, por lo tanto debe tener esta capacidad. Para fijar ideas supongamos el caso de estructuras elásticas aunque no necesariamente lineales, donde el proceso de carga y descarga se realiza sin que existan deformaciones remanentes. Cuando se carga la estructura se producen desplazamientos y las fuerzas realizan un trabajo, éste se almacena en la estructura y a su vez permite quesea devuelto cuando retiramos las cargas.

P

P

U

U
Esta capacidad para almacenar trabajo es lo que hemos definido como energía y que denominaremos Energía Interna de Deformación Ei. Esta denominación se debe a que la energía se almacena internamente a costa de deformar a las estructuras. Durante la carga las fuerzas deforman la estructura y el trabajo es positivo, en cambio cuando seretiran las cargas la energía almacenada hace que en cada escalón la estructura se recupere y origine sobre las fuerzas que restan un trabajo negativo. La expresión matemática de este análisis sería: Te = Ei Esto es rigurosamente cierto si las cargas son aplicadas en forma gradual de manera que la velocidad en la estructura sea nula y por lo tanto su energía cinética. Es decir se requiere que entodas las etapas de carga exista equilibrio estático. Tampoco debe haber disipación de energía en calor generado en algún tipo de fricción interna o externa. 2. TRABAJO EXTERNO

P
Nos interesa saber cual es el valor del Te si se varía la forma de aplicar las cargas. Para este fin comencemos con una fuerza P que actúa sobre la estructura indicada figura.

U

P

Tec

P+dP P

Te

U
UU+dU

La fuerza P crece a partir de cero, y la respuesta de la estructura puede interpretarse a través del gráfico P-U que muestra la relación entre carga y desplazamiento. Como caso general la respuesta es no lineal. Para un incremento dP de la carga, se produce un incremento en los desplazamientos U en dU y en este caso el diferencial del trabajo externo vale: dTe = P dU + ½ dP dU 2−www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm

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despreciando los productos de los diferenciales dP dU, queda como resultado: dTe = P dU Si realizamos la integral a lo largo de la carga, el trabajo externo realizado por el estado de cargas en sus propios desplazamientos es:

Te = ∫ PdU
0

P

Esta integral representa el área debajo...