Teoremas Geométricos Poco Usuales

Teoremas Geométricos
Teorema de Apolonio

fig.1: Esquema con áreas → (  ).
En geometría, el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados.
Teorema de Apolonio (teorema de la mediana)
Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual a la mitaddel cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente.

Apolonio de Perga
Para cualquier triángulo ΔABC (véase fig. 1), si M es la mediana correspondiente al lado c, donde AP = PB = ½ c, entonces :

Teorema de Brahmagupta
Para el resultado sobre el área de un cuadrilátero cíclico, véase fórmula de Brahmagupta.
En geometría euclidiana, el teorema deBrahmagupta (llamado así en honor al matemático indio Brahmagupta) da una condición necesaria sobre la perpendicularidad de las diagonales de un cuadrilátero cíclico (inscriptible en un círculo).
Enunciado
Si las diagonales de un cuadrilátero cíclico son perpendiculares, entonces toda recta perpendicular a un lado cualquiera del cuadrilátero y que pase por la intersección de las diagonales, divide allado opuesto en dos partes iguales.

 y 
implica =FM
Fórmula de Brahmagupta
Para el resultado sobre las diagonales de un cuadrilátero cícliclo, véase teorema de Brahmagupta.
En geometría euclidiana, la fórmula de Brahmagupta (llamada así en honor al matemático indio Brahmagupta, quien la utilizó por primera vez) permite encontrar el área de cualquier cuadrilátero dadas las longitudes de loslados y algunos de los ángulos. En su formulación más común, proporciona el área de los cuadriláteros cíclicos, es decir, aquellos que se pueden inscribir en una circunferencia.
Forma Básica
La fórmula de Brahmagupta, en su expresión más simple, permite hallar el área de un cuadrilátero cuyos lados tienen longitudes a, b, c, d:

donde s, es el semiperímetro:

Extensión a los cuadriláteros nocíclicos
En el caso de los cuadriláteros no cíclicos, la fórmula de Brahmagupta puede extenderse al considerar las medidas de dos ángulos opuestos del cuadrilátero

donde θ es la mitad de la suma de dos ángulos opuestos. La pareja es irrelevante: si los otros dos ángulos se toman, la mitad de su suma es el suplemento de θ. Dado que cos(180° − θ)=−cosθ, se tiene que: cos2(180° − θ)=cos2θ. Sedesprende de ello que el área de un cuadrilátero cíclico es el área máxima posible para cualquier cuadrilátero con las longitudes de los lados dadas.
Esta fórmula general es más conocida a veces como la fórmula de Bretschneider, pero se debe aparentemente a Coolidge.1 La expresión de Bretschneider es

donde p y q son las longitudes de las diagonales del cuadrilátero.
Es una característica delos cuadriláteros cíclicos (y en última instancia, de ángulos inscriptos) que los ángulos opuestos de un cuadrilátero suman 180°. En consecuencia, en el caso de un cuadrilátero inscrito, θ=90°, donde el término

se anula, dando la forma básica de la fórmula de Brahmagupta.
Teorema de Ptolomeo
Un cuadrilátero cumple con el Teorema de Ptolomeo si y solamente si es cíclico.
El teorema dePtolomeo es una relación en geometría euclidiana entre los cuatro lados y las dos diagonales de un cuadrilátero cíclico. El teorema recibe su nombre del astrónomo y matemático griego Claudio Ptolomeo.
Si un cuadrilátero está dado por sus cuatro vértices A, B, C, D, el teorema afirma que:

Donde la línea sobre las Letras indica la longitud de los segmentos entre los vértices correspondientes.
Estarelación puede ser expresada de manera verbal de la siguiente forma:
Teorema de Ptolomeo
En todo cuadrilátero inscribible en una circunferencia, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales.
Teorema de Casey
En geometría, el teorema de Casey es una generalización del teorema de Ptolomeo, llamado así por el matemático John Casey (1820-1891)....