Teoremas tipicos de diferenciales

Teoremas típicos de diferenciales
Sea r una región rectangular en el plano xy definida por a < x <b, c < y < d que contiene al punto (x0, y0) en su interior. Si f(x,y) y af/ay son continuas en r, entonces existe un intervalo I con centro en x0 y única función y (x) definida en I que satisface el problema de valor inicial el teorema precedente es uno de lo teoremas de existencial yunicidad mas populares para ecuaciones diferenciales de primer orden

porque los criterios de continuidad de f(x,y) y af/ay son relativamente fáciles de verificar. En general, no siempre es posible encontrar un intervalo especifico I en el cual se define una solución sin, de hecho, resolver la ecuación diferencial
El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre laintegración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819–1903).
Sea M una variedad de dimensión n diferenciable por trozos orientada compacta y sea ω una forma diferencial en M de grado n-1 y de clase C¹. Si ∂ M denota el límite de M con su orientación inducida, entonces
aquí d es la derivada exterior, que se defineusando solamente la estructura de variedad. El teorema debe ser considerado como generalización del teorema fundamental del cálculo y, de hecho, se prueba fácilmente usando este teorema.
El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde M es una subvariedad orientada sumergida en una variedad más grande en la cual la forma ω se define.
El teorema se extiende fácilmente a las combinacioneslineales de las subvariedades diferenciables por trozos, las, así llamadas, cadenas. El teorema de Stokes demuestra entonces que las formas cerradas definidas módulo una forma exacta se pueden integrar sobre las cadenas definidas módulo borde. Ésta es la base para el apareamiento entre los grupos de homología y la cohomología de de Rham.
El clásico teorema de Kelvin-Stokes
que relaciona la integralde superficie del rotacional del campo vectorial sobre una superficie Σ en el 3-espacio euclidiano a la integral de línea del campo vectorial sobre su borde, es un caso especial del teorema de Stokes generalizado (con n = 2) una vez que identifiquemos el campo vectorial con una 1-forma usando la métrica en el 3-espacio euclidiano. La primera enunciación conocida del teorema es por William Thomson(lord Kelvin) y aparece en su carta a Stokes.

3.8 LA DIFERENCIAL. APROXIMACIONES LINEALES
Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función “y” con respecto a “x”, la notación de Leibnitz, dxdy, como un símbolo y no como el cociente del símbolo dy (diferencial de la variable y) entre dx (diferencial de la variable x).
Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nospermite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función

alrededor de un punto. La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico. Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) (fig. (a)). fig. Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dyson paralelos alos ejes antiguos. En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y en consecuencia, su ecuaci¨®n es bastante simple, a saber: dy = mdx, donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ¡¯(x), se tiene entonces: dy = f ¡¯(x) dx Lo anterior nos permite dar la definición formal de lasdiferencial. Definición: i. Se llama diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, al incremento x¦¤; esto es xdx¦¤=. ii. Si y = f (x) es una función derivable de x, la diferencial de y en el punto x, denotada dy, se define como xxfdy¦¤)(‘=, o tambi¨¦n, . dxxfdy)(‘= Interpretación geométrica de la diferencial Sea f una función derivable en x. En el triángulo P0RQ, se tiene: xmRQ¦¤.=, en...