Teoremas Y Postulados Del Algebra De Boole 1

1. Propiedad de cierre. Para un conjunto s se dice que es cerrado para un operador binario si para cada elemento de S el operador binario especifica una regla para obtener un elemento nico de S. Para el conjunto N 1,2,3,4, es cerrado con respecto al operador binario () por las reglas de la adicin aritmtica, ya que para que cualquier elemento a,b pertenecientes a N por la operacin a b c elconjunto de los nmeros naturales no esta cerrado con respecto al operador binario (-) por la regla de la resta aritmtica, debido a que 2-3 -1 y 2,3 pertenecen a N pero -1 no pertenece a N. 2. Ley asociativa. El operador binario () es un conjunto S es asociativo siempre que xyz x(yz) para toda x, y pertenecientes a S. 3. Ley conmutativa. Un operador binario () para un conjunto S esconmutativo siempre que xy yx para toda x,y pertenecientes a S. 4. Elemento identidad. El conjunto S tendr un elemento identidad multiplicativo identidad () en S si existe un e perteneciente a S con la propiedad ex xe e para cada x pertenecientes a S. 5. Inversa. El conjunto S tiene un elemento identidad (e) con respecto al operador () siempre que para cada x perteneciente a S exista un elemento yperteneciente a S tal que xye. 6. Ley distributiva. Si el operador () y el operador (.), son operadores binarios de S, () se dice que es distributivo sobre (.). Siempre que x(y . z) (xy) . (xz) - El operador binario () define la adicin. - Identidad aditiva es el cero. - La inversa aditiva define la sustraccin. - El operador binario (.) define la multiplicacin. - Identidad multiplicativa es 1.- Inversa multiplicativa de A es igual a 1/A define la divisin esto es A 1/A 1 - La nica ley distributiva aplicable es la de operador (.) sobre el operador (.) sobre () a(bc)(a.b) (a.c) Para definir formalmente el lgebra de Boole se emplean postulados de Huntington. 1. a) Cierre con respecto al operador () b) Cierre con respecto al operador (.) 2. a) Un elemento identidad con respecto aloperador (), designado por el cero x0 0xx b) Un elemento identidad con respecto al operador (.) designado por el uno x11xx 3. a) Conmutativo con respecto al operador () xy yx b) Conmutativo con respecto al operador (.) xy yx 4. a) El operador (.) es distributivo sobre el operador () x.(yz) (x.y) (y.z) b) El operador () es distributivo sobre el operador (.) x(x.z) (xy) . (xz) 5. Para cadaelemento de x pertenencia a B existe un elemento x complemento perteneciente a B denominado complemento de x tal que a) xx 1 b) x 0 6. Existen cuando menos dos elementos x,y pertenecientes a B tal que x diferente de y. Por lo tanto tenemos que el lgebra de Boole difiere de la aritmtica y del lgebra ordinaria en la sig a) Los postulados Huntington no incluyen al ley asociativa, no obstante estaley es valida para el lgebra booleana (para ambos operadores) b) La ley distributiva del operador () sobre el operador (.) esto es x(y.z) (xy).(xz), la cual es valida para el lgebra de boole pero no para el lgebra ordinaria. c) El lgebra booleana no tiene inversa aditiva a multiplicativa, por lo tanto no hay operaciones de sustracciones o divisin. d) El postulado 5 define un operador llamadocompleto que no se encuentra en el lgebra ordinaria. e) En el algebra de Boole se define un conjunto B de dos elementos (0 y 1) y el lgebra ordinaria trata con el conjunto de los nmeros reales. Postulado 2 a) x 0 x b) x . 1 x Postulado 5 a) x x 1 b) x . x 0 Teorema 1 a) x x x b) x . x x Teorema 2 a) x 1 1 b) x . 0 0 Teorema 3 involucin (x) x Teorema 3 conmutativo a)x y y x b) xy yx Teorema 4 asociativo a) x (y z) (x y) z b) x (yz) (xy) z Postulado 4 distributivo a) x (y z) xy xzb) x yz (x y)(xz) Teorema 5 morgan a) ( x y) x y b) (xy) x y Teorema 6 absorcin a) x xy x b) x (x y) x Ejemplos x x x x xy x x x (x x) . 1 x . 1 xy x x x (x x) (x x) x (1 y) x x x x xx x (y 1) x x x x 0 x (1) x x x x x x Las...