Teoria Algebra

EXPONENCIALES
Propiedades de las operaciones con exponenciales
i.

a0 = 1 ∀ a ≠ 0

ii.

a f ⋅ a g = a f +g
af

iii.

a

g

= a f −g

(a )

f g

iv.

1

v.

a

f

= a f ⋅g

= a −f

a f ⋅ b f = (a ⋅ b)f

vi.

af

a
= 
f
b
b

vii.

g

viii.

af = a

f

f

g

af = ag ⇔ f = g

ix.

Para resolver ecuaciones exponenciales se puede operar de tres formas diferentes:
I.

Ecuaciones en las que losdos miembros se pueden expresar como exponenciales
con igual base. Se resuelven igualando los exponentes según la propiedad ix.

Ejemplo 1.
9 ⋅ 3 2 x +5 =

27

9 x +3
Se expresa todo en base 3 yoperando según las propiedades:
2

3 ⋅3

2 x +5

=

33

(3 )
2

x +3

; 3

2x +7

=

3

3

33
2
(x + 3 )
33

; 3

2x +7

=3

3−

2
(x + 3 )
3

Teniendo en cuenta que a igualdad de bases, igualdad deexponentes(prop. x)
3

2x +7

=3

3−

2
(x + 3 )
3

⇔ 2x + 7 = 3 −

2
(x + 3)
3

resolviendo la ecuación de primer grado:
x=−
II.

9
4

Ecuaciones exponenciales que se transforman en ecuaciones de segundogrado

Ejemplo 2.
9 x +1 − 28 ⋅ 3 x + 81 = 0
teniendo en cuenta que:

( )

9 x +1 = 3 2
sustituyendo en la ecuación

x +1

( )

= 3 2(x +1) = 3 2 x + 2 = 3 2 x ⋅ 3 2 = 9 ⋅ 3 x 2 = 9 ⋅ 3 x

( )

9 ⋅ 3x2

2

− 28 ⋅ 3 x + 81 = 0

haciendo el cambio 3 x = z , la ecuación exponencial se convierte en una de segundo grado

9 ⋅ z 2 − 28 ⋅ z + 81 = 0
resolviendo la ecuación de segundo grado
z=

− (− 28) ±(− 28)2 − 4 ⋅ 9 ⋅ 3
2⋅9

=

28 ± 26  z = 3
1
:
z = = 3 −2
18

9

teniendo en cuenta el cambio de variable:
 z = 31 = 3 x ⇒ x = 1
z = 3x : 
z = 3 − 2 = 3 x ⇒ x = −2
III.

Ecuacionesexponenciales en las que la exponencial es un factor común en uno de
los miembros

Ejemplo 3.
2 x + 2 x − 2 + 2 x − 4 + 2 x −6 = 340
 x −2
2x
= 2 x ⋅ 2 −2 =
2
22

 x − 4
2x
= 2 x ⋅ 2 −4 =
teniendo encuenta que: 2
, sustituyendo en la ecuación:
24

 x −6
2x
= 2 x ⋅ 2 −6 =
2

26
2x +

2x
22

+

2x
24

+

2x
26

= 340

sacando factor común de 2 x

1
1
1
+
+
2 x 1 +
2
4
2
26
 2


 = 340...