Teoria Campos

F´ısica
Grado de Qu´ımica

´ A LA TEOR´IA DE CAMPOS
INTRODUCCION

1.
2.
3.
4.

5.

6.
7.
8.

Introducci´
on
Campos escalares y campos vectoriales
Operadores diferenciales de campos
Integraci´
on de campos vectoriales
4.1 Circulaci´
on de un campo vectorial
4.2 Flujo de un campo vectorial
Teoremas integrales de campos vectoriales
5.1 Teorema de Stokes
5.2 Teorema de la divergencia
Representaci´
ongeom´
etrica de un campo vectorial
Campos vectoriales irrotacionales y solenoidales
Relaciones diferenciales de campos escalares y vectoriales

1. Introducci´
on
La teor´ıa de campos constituye un poderoso formalismo matem´
atico de gran
utilidad para la descripci´
on de situaciones f´ısicas en las que las magnitudes
involucradas poseen una estructura de campo. Este es el caso de importantespartes de la F´ısica, como la Mec´anica de Fluidos, la Electricidad y el
Magnetismo.
En este tema se resumen las principales propiedades de la teor´ıa de campos. Se comienza definiendo los campos escalares y vectoriales en espacios
tridimensionales reales. Seguidamente se introducen los operadores diferenciale m´
as utilizados en la teor´ıa de campos, haciendo especial hincapi´e en
el operador nabla.En todos los casos u
´nicamente se utilizan coordenadas
cartesianas.

1

Las siguientes dos partes de este resumen, integraci´
on de campos vectoriales y teoremas integrales, constituyen el coraz´
on del tema. En la primera
parte se introducen los conceptos b´
asicos de integraci´
on de campos vectoriales a lo largo de curvas (circulaci´
on), a trav´es de superficies (flujo) y en
vol´
umenes. Enla segunda parte se presentan los teoremas integrales m´
as
importantes de la teor´ıa de campos, teoremas de Stokes y de Gauss, que relacionan las integrales de l´ınea y de superficie con integrales sobre superficies
y vol´
umenes de campos vectoriales, respectivamente.
Para finalizar este breve resumen se introduce la representaci´on geom´etrica de campos vectoriales a trav´es de las l´ıneas decampo, as´ı como la clasificaci´
on de los campos vectoriales en campos irrotacionales y solenoidales.

2. Campos escalares y campos vectoriales
Consideremos una funci´
on escalar φ: R3 → R, definida en una regi´
on de un
espacio tridimensional. Tal funci´on, que depende de la posici´
on considerada
del espacio, φ = φ(r) = φ(x, y, z), recibe el nombre de campo escalar. Es
obvio entonces que cadapunto del espacio queda caracterizado por el valor
de la funci´
on escalar φ en dicho punto.
Un ejemplo sencillo de campo escalar lo constituye la temperatura de
una habitaci´
on, en la que en cada punto del espacio existe, en general, una
temperatura diferente. Dicho de otro modo, existe una funci´on escalar real
definida en cada punto del espacio T (r) = T (x, y, z).
Consideremos ahora unafunci´on vectorial A(r) : R3 → R3 , definida en
una regi´
on de un espacio tridimensional. Tal funci´on, que depende de la
posici´
on del espacio, A = A(r) = Ax (x, y, z)i + Ay (x, y, z)j + Az (x, y, z)k, se
denomina campo vectorial. De manera similar a lo que ocurre con un campo
escalar, en el caso de un campo vectorial cada punto del espacio queda
caracterizado por el valor de un vector en dicho punto(o por tres funciones
escalares, una por cada componente del vector).
Existen multitud de ejemplos reales de campos vectoriales, como la velocidad del aire en el interior de un recinto, cuyo valor es diferente, en general,
en cada punto del espacio, el campo el´ectrico creado por distribuciones de

2

carga, etc.

3. Operadores diferenciales de campos
Consideremos en primer lugar un campo escalardefinido en una regi´
on de
un espacio tridimensional φ = φ(r). Se definen las derivadas parciales de la
funci´
on φ respecto a las coordenadas cartesianas x, y y z del siguiente modo:
φ(x + ∆x, y, z) − φ(x, y, z)
∂φ
= l´ım
∂x ∆x→0
∆x
∂φ
φ(x, y + ∆y, z) − φ(x, y, z)
= l´ım
∆y→0
∂y
∆y
∂φ
φ(x, y, z + ∆z) − φ(x, y, z)
= l´ım
∆z→0
∂z
∆z

(1)
(2)
(3)

Operativamente hablando, el c´alculo de las...