Teoria Cinetica De Los Gases

Cap´
ıtulo 3
An´lisis de la deformaci´n
a
o
de los cuerpos

1. Introducci´n
o
En el cap´
ıtulo 2 se ha estudiado la distribuci´n de fuerzas internas en los cuerpos
o
deformables, que es una de las diferencias fundamentales con los cuerpos r´
ıgidos.
En este cap´
ıtulo nos ocupamos del estudio de la deformabilidad en s´ misma, como
ı
concepto geom´trico. En primer lugar lapropondremos una definici´n matem´tica
e
o
a
de dicho concepto y nos ocuparemos, a continuaci´n, de calcularla exactamente en
o
todos los puntos de un cuerpo, suponiendo que las deformaciones son peque˜as.
n
La hip´tesis de peque˜as deformaciones limita la aplicabilidad de los conceptos
o
n
44

presentados en este cap´
ıtulo, pero no se debe de olvidar que la gran mayor´ de las
ıaestructuras y de las m´quinas trabajan en situaciones de peque˜as deformaciones
a
n
as´ pues sus aplicaciones son numerosas. El estudio de las llamandas deformaciones
ı
finitas o grandes deformaciones queda para cursos m´s avanzados.
a
Una vez que el concepto de deformaci´n est´ claramente definido estudiaremos,
o
e
en el cap´
ıtulo 4, que existe una relaci´n, llamada constitutiva, entre lastensiones y las
o
deformaciones, cerrando con ello el planteamiento del modelo del cuerpo deformable.

2. Cinem´tica de un cuerpo deformable
a
Un cuerpo sometido a fuerzas y acciones externas puede responder de manera
que sus puntos cambien de posici´n. Dado un punto P ∈ Ω , denominamos P � la
o
posici´n en el espacio que el punto P ocupa despu´s de que el cuerpo sufra las
o
e
accionesexteriores. Definimos el campo de desplazamientos u : Ω → R3 como
u(P ) = rP � − rP

(3.1)

siendo rP � y rP los vectores de posici´n de los puntos P � y P respectivamente
o
respecto de un sistema de coordenadas cualquiera, pero fijo. El concepto de campo
de desplazamiento se estudia en el modelo de los cuerpos r´
ıgidos, pues no es exclusivo
de los cuerpos deformables.
Sin embargo,intuitivamente, se entiende que el concepto de deformaci´n, aunque
o
relacionado con el desplazamiento, no es lo mismo. Un cuerpo en el que todos
sus puntos se desplazan con un campo u constante sabemos que no se deforma.
Tampoco se deforma un cuerpo que rota alrededor de un eje o de un punto fijo.
La definici´n precisa del concepto de deformaci´n no es evidente. Los cuerpos
o
o
tienen muchasmaneras de deformarse, si se miran en su conjunto. Sin embargo,
localmente (a nivel diferencial) veremos que s´lo hay dos modos de deformaci´n. Lo
o
o
que define a la deformaci´n es el desplazamiento relativo, y para ello es necesario
o
estudiar el campo cinem´tico en el entorno de cada punto, porque, a diferencia de lo
a
que ocurre en los s´lidos r´
o
ıgidos, cada entorno se puede deformar deforma distinta.
As´ en una estructura sometida a cargas se puede hablar de que una viga est´ muy
ı,
a
deformada y otra no; en el chasis de un veh´
ıculo, una parte est´ muy deformada y
a
otra a penas, etc.
A pesar de la aparente dificultad en describir la deformaci´n en toda
o
generalidad, argumentamos a continuaci´n que a nivel local s´lo existen dos tipos
o
o
de deformaciones. Elprimer tipo de deformaci´n que existe se refiere al cambio de
o
45

P�

u(P )

dr

Q�

dr �

u(Q)
η
Q

P
Figura 3.1:

Deformaci´n en el entorno de un punto de un cuerpo deformable
o

longitud y se conoce como la deformaci´n longitudinal unitaria de un cuerpo
o
en un punto P y en una direcci´n η . Para poder definirlo, consideremos dos puntos
o
P y Q infinitesimalmentepr´ximos sobre un cuerpo deformable, y llamemos dr
o
al vector diferencial que va desde P a Q. Cuando el cuerpo se deforma, estos dos
puntos pasan a ocupar las posiciones P � y Q� , y denominamos ahora dr � al vector
diferencial que los une. Es el cambio relativo de longitud de un elemento diferencial
de l´
ınea con origen en el punto P y con direcci´n η . Su definitici´n matem´tica es
o
o
a...