Teoria combinatoria

INTEGRANTES:

2º HUMANIDADES

TEORÍA COMBINATORIA

Principio de Conteo

A menudo se presenta la necesidad de calcular el número de maneras distintas en que un suceso se presenta o puede ser realizado. Otras veces es importante determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento específico. En ambos casos se apela al sentido común, o se establecen métodos que permitan sistematizar talescálculos. Con frecuencia el sentido común ayuda a entender por qué se eligió un procedimiento dado, mientras que la formalización del cálculo las vías para encontrar las soluciones apropiadas.

Iniciaremos nuestro estudio de teoría combinatoria enunciando los principios aditivo y multiplicativo de conteo.

Principio aditivo de conteo: Sean A y B dos sucesos que no pueden ocurrirsimultáneamente. Si A ocurre de a maneras distintas y B ocurre de b maneras distintas, el número de maneras en el cual puede ocurrir A o B es A +B


Ejemplo: 12.1

Se tienen 6 banderas de señalización, dos rojas, dos verdes y dos azules. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con una o dos banderas a la vez?

* Solución:

Si denotamos las banderas rojas, verdes y azules por R, V y A,respectivamente, vemos que con una bandera a la vez se pueden hacer 3 señales distintas:


R

V

A


Con dos banderas a la vez se puede hacer las siguientes señales (sacando, por ejemplo, una primera y después la otra):

R R

R V

R A

V R

V V

V A

A R

A V

A A

PRIMERASEGUNDA
BANDERA BANDERA

Entonces, si se utilizan dos banderas, se pueden hacer 9 señales distintas. Luego, con una o dos banderas se podrán realizar 3+9= 12 señales diferentes. Observa que, como se establece en la definición, se trata de dos sucesos A y B descritos como:

A: Sehacen señales con una sola bandera
B: Se hacen señales con dos banderas.

Y que ambos no pueden ocurrir simultáneamente, ya que si se decide hacer señales con una bandera se descarta la segunda alternativa y viceversa.

Principio multiplicativo de conteo: Si un suceso puede ocurrir en a maneras e, independientemente, un segundo suceso puedeocurrir en b maneras, entonces el número de maneras en que ambos, A y B, pueden ocurrir ab.

A este principio también se le denomina principio fundamental de conteo.

Ejemplo 12.2

En la fig. 12.1 se demuestra distintas rutas para ir desde Cumaná hasta Caripe, desde Caripe hasta Maturín y desde Maturín hasta Ciudad Bolívar. ¿De cuántas maneras distintas puede irse desde Cumaná hasta CiudadBolívar?
La letra Rj ( j = 1,8) indica las distintas rutas.

Cumaná

Caripe Maturín Ciudad Bolívar


Fig. 12.1 ¿De cuántas maneras distintas se puede ir desde Cumaná hasta Ciudad Bolívar?

* Solución:

Analicemos el problema a partir del principio fundamental del conteo:

Suceso A: Irdesde Cumaná hasta Caripe. Hay 4 rutas distintas.
Suceso B: Ir desde Caripe hasta Maturín. Hay 2 rutas distintas.
Suceso C: Ir desde Maturín hasta Ciudad Bolívar. Hay 2 rutas distintas.

Los distintos sucesos, A,B,C, son independientes, ya que la selección de una ruta determinada de una ciudad a otra no depende de la anterior.

Luego, para ir desde Cumaná hasta Ciudad Bolívar puedenseleccionarse 4. 2.2 =16 rutas diferentes. Estas posibles rutas son:

R R R R R R R R R R R R

R R R R R R R R R R R R

R R R R R R R R R R R R

R R R R R R R R R R R R

Ejemplo: 12.3

Un agente gubernamental tiene que inspeccionar los ferrys que hacen la travesía...