Teoria de bandas

PRINCIPIOS DE ELECTRÓNICA

Introducción a la teoría de bandas
Nuestro objetivo es adquirir unas ideas simples de cómo es la conducción de la corriente eléctrica en un sólido cristalino. Los átomos de un sólido cristalino están ordenados en una estructura periódica tridimensional. Imaginemos un experimento ideal en el que se supone que la red de átomos se dilata, esto es, la separación entreátomos aumenta. Llega un momento en que los átomos están tan alejados unos de otros que se pueden considerar aislados e independientes. El propósito de este experimento mental es describir cómo se modican los estados energéticos de los electrones en los átomos aislados a medida que los átomos se acercan hasta formar la red original. Comenzamos por un átomo aislado. Un electrón en un estado ligado deun átomo posee una energía potencial debida a los protones del núcleo igual a

Ep (x) = −

Z|e|2 4π 0 |x|

(1)

donde x representa la posición sobre un eje que pase por el núcleo y cuyo origen está en el núcleo (ver gura 1).
E(x)
E p ( x) Ze 2 4
0

x

x

3s 2p 2s 1s

Figura 1: Energía potencial de un electrón debida a la interacción eléctrica con un ión de carga q. En unavisión clásica los electrones ligados podrían tener cualquier energía menor que cero. La Mecánica Cuántica nos dice que los electrones se encuentran en niveles de energía discretos. Los estados energéticos se ocupan siguiendo el principio de exclusión de Pauli. Esto es, dos electrones no pueden tener idénticos valores de números cuánticos, que en el caso del átomo son los números n, l, ml y ms :

n lml ms

= = = =

1, 2, 3, . . . 0, 1, . . . , n − 1 = s, p, d, f, . . . −l, −l + 1, . . . , l − 1, l −1/2, 1/2
1

Los números cuánticos denen un estado cuántico. Los electrones se van colocando en el átomo rellenando los niveles de energía más bajos. Algunos ejemplos son: H He 3 Li 4 Be 5 B 6 C 7 N 8 O 9 F 10 Ne
1 2

1s1 1s2 1s2 2s1 1s2 2s2 1s2 2s2 2p1 1s2 2s2 2p2 1s2 2s2 2p3 1s2 2s22p4 1s2 2s2 2p5 1s2 2s2 2p6

Consideremos ahora dos átomos próximos. Si tenemos un electrón sometido al potencial de dos iones positivos la energía potencial en función de x a lo largo de un eje que pase por los dos iones sería como la de la gura 2. Clásicamente el electrón está compartido, moviéndose entre los dos iones, si su energía potencial es superior a un cierto valor E0 .
E(x)

1erión + E +

2do ión

E0 E potencial suma

Figura 2: Energía potencial eléctrica de un electrón cuando interactúa con dos iones (líneas sólidas). Para electrones con energías menores que E0 la situación sería de connamiento en uno de los dos iones. Cuánticamente, un electrón puede pasar de un ión al otro incluso para energías E menores que E0 gracias al efecto tunel. La probabilidad de pasar deun ión al otro va a depender de lo alta que sea la barrera de potencial, esto es de la diferencia de energía entre E y E0 . Los electrones más internos, con niveles de energía más profundos, no van a tener una probabilidad apreciable de pasar de un átomo a otro y, por tanto, no son necesarios a la hora de construir una teoría de conducción en los sólidos cristalinos. Para estos electrones másinternos, las funciones de onda correspondientes solapan muy poco. Para hacernos una idea de cómo son los estados cuánticos en la red cristalina comenzaremos por ver cómo los estados cuánticos monoatómicos se van transformando a medida que acercamos los átomos. Comenzamos por dos átomos de hidrógeno muy separados. Los esquemas de las funciones de onda del nivel 1s son como los de la gura 3. A medidaque la distancia entre átomos va disminuyendo las funciones de onda se van solapando. ¾Cuál es la autofunción que 2

empleamos para describir un electrón que puede encontrarse con igual probabilidad tanto en el átomo 1 como en el 2? (Esto es un requerimiento de que los electrones son indistinguibles). Una posibilidad es escribir ΨS = Ψ1 +Ψ2 . Otra posibilidad es escribir ΨA = Ψ1 −Ψ2 ....