teoria de bayes
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Publicado: 5 de noviembre de 2013
DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X2)
En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.
Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige unamuestra de tamaño n de una población normal con varianza, el estadístico:
Tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por:
Donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. Elestadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:
Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada
1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.
2. La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.
3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
4. Las distribuciones X2 no sonsimétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.
5. Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).
6. El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).
La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).
La función de densidad de la distribuciónX2 esta dada por:
Para x>0
La tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadística de Walpole, la cual da valores críticos (gl) para veinte valores especiales de. Para denotar el valor crítico de una distribución X2 con gl grados de libertad se usa el símbolo (gl); este valor crítico determina a su derecha un área de bajo la curva X2 y sobre el ejehorizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y a o largo del lado superior de la misma tabla.
Cálculo de Probabilidad
El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal.
Ejemplos:
1. Suponga quelos tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.
Solución:
Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:
El valor de 32 sebusca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)
2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza tenga una varianza muestral:
a. Mayor que 9.1
b. Entre 3.462 y 10.745
Solución.a. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada:
Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la P (s2 >9.1) = 0.05
1. Se calcularán dos valores de ji-cuadrada:
2.
Y
Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a laderecha de 0.95. El valor de 42.98 da un área a la derecha de 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94.
Por lo tanto la P (3.462 s2 10.745) = 0.94
Estimación de la Varianza
Para poder estimar la varianza de una población normal se utilizará la distribución ji-cuadrada.
Al despejar esta fórmula la varianza poblacional...
En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.
Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige unamuestra de tamaño n de una población normal con varianza, el estadístico:
Tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por:
Donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. Elestadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:
Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada
1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.
2. La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.
3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
4. Las distribuciones X2 no sonsimétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.
5. Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).
6. El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).
La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).
La función de densidad de la distribuciónX2 esta dada por:
Para x>0
La tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadística de Walpole, la cual da valores críticos (gl) para veinte valores especiales de. Para denotar el valor crítico de una distribución X2 con gl grados de libertad se usa el símbolo (gl); este valor crítico determina a su derecha un área de bajo la curva X2 y sobre el ejehorizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y a o largo del lado superior de la misma tabla.
Cálculo de Probabilidad
El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal.
Ejemplos:
1. Suponga quelos tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.
Solución:
Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:
El valor de 32 sebusca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)
2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza tenga una varianza muestral:
a. Mayor que 9.1
b. Entre 3.462 y 10.745
Solución.a. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada:
Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la P (s2 >9.1) = 0.05
1. Se calcularán dos valores de ji-cuadrada:
2.
Y
Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a laderecha de 0.95. El valor de 42.98 da un área a la derecha de 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94.
Por lo tanto la P (3.462 s2 10.745) = 0.94
Estimación de la Varianza
Para poder estimar la varianza de una población normal se utilizará la distribución ji-cuadrada.
Al despejar esta fórmula la varianza poblacional...
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