Teoria De Cola

TEORIA DE COLAS

PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE

Ecuaciones de equilibrio

ENTRADA = SALIDA
P1*µ1 = P0*λ0
P0*λ0+ P2*µ2 = P1*λ1+ P1*µ1
P1*λ1+ P3*µ3 = P2*λ2+ P2*µ2
Pn-2*λ n-2 + Pn*µn = Pn-1*λ n-1 + P n-1*µ n-1
Pn-1*λ n-1 + Pn+1*µn+1 = Pn*λ n + P n*µ n

P1= λOµ1*P0 ; P2= λO*λ1µ1*µ2*P0 ; P3= λO*λ1*λ2µ1*µ2*µ3*P0 ; …… Pn= λO*λ1*λ2…….*λn-1µ1*µ2*µ3……..*µn*P0

Valoresde rendimiento:

L = n=0∞n*Pn

Lq = n=s∞(n-s)*Pn

W = Lλ

Wq = Lqλ

λ = n=0n-1λn*Pn

Ejemplo.-
A una gasolinera de una sola bomba llegan los autos a razón de 5 cada hora, cuando esta está vacía la tasa de llegada de los autos disminuye en uno a medida que el sistema se va incrementando en una unidad si el tiempo de servicio de cada auto es de 10 minutos por vehículo y lagasolinera tiene la capacidad de 4 autos. Determine las medidas de rendimiento del sistema.

Ecuaciones de equilibrio:
Entrada = Salida
P1*µ1 = P0*λ0
P0*λ0+ P2*µ2 = P1*λ1+ P1*µ1
P1*λ1+ P3*µ3 = P2*λ2+ P2*µ2
P2*λ2+ P4*µ4 = P3*λ3+ P3*µ3

P0+P1+P2+P3+P4=1
P0 = 0,362
P1= λOµ1*P0 =0,302
P2= λO*λ1µ1*µ2*P0 =0,201
P3= λO*λ1*λ2µ1*µ2*µ3*P0 =0,101P4=λO*λ1*λ2*λ3µ1*µ2*µ3*µ4*P0= 0,034

Valores de rendimiento:

L=n=0∞n*Pn =1,143 Lq=n=s∞(n-s)*Pn=0,505
W=Lλ =0,299 = 17,939 Wq=Lqλ = 0,132 = 7,926
λ=n=0n-1λn*Pn=3,823

LA DISTRIBUCION EXPONENCIAL

Para formular un modelo de teoría de colas como una representación del sistema real, es necesario especificar laforma supuesta de cada una de las distribuciones, en ese sentido la distribución a utilizar será la Exponencial porque es aquella que realiza predicciones razonables y matemáticamente manejables.

Por tal motivo, se repasaran algunas propiedades que servirán para justificar y respaldar el uso de esta distribución del tiempo entre llegadas y tiempo de servicio.

Función de densidad.
Dada unavariable aleatoria X que tome valores reales no negativos {x ³ 0} diremos que tiene una distribución exponencial de parámetro  con   0, si y sólo si su función de densidad tiene la expresión:

fx=α*e-αx
De donde:
P T≤t=1-e-αt
P T>t=e-αt
La Esperanza y Varianza será entonces

ET=1α
VarT=1α2

Propiedad 1.

f(t)) es una función estrictamente decreciente de t(t)>0.P0≤t≤∆t>Pt≤T≤t+∆t

Para cualquier valor positivo de t y t

Propiedad 2. Falta de memoria

PT>t+∆tT>∆t=PT>t

Para cualquier valor positivo de t y t

PT>t+∆tT>∆t=PT>t,T>t+∆tPT>∆t=PT>t+∆tPT>∆t

=e-α(t+∆t)e-α∆t=e-αt

Tiempo entre llegadas = El tiempo que transcurre hasta la llegada siguiente es totalmente independiente de cuándo ocurrió la última llegada

Tiempo deservicio = Si ha pasado un tiempo de servicio considerable, la única implicación puede ser que este cliente en particular requiera un servicio más extenso que los demás

Propiedad 3. Relacion con la Distribucion de Poisson

* La distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo, la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas.
* Si lasllegadas son de Poisson el tiempo entre estas llegadas es exponencial.
* La distribución de Poisson es discreta la distribución exponencial es continua porque el tiempo entre llegadas no tiene que ser un número entero.

Sea X(t) el numero de ocurrencias en el tiempo t (t≥0): Distribución de Poisson con parámetro αt.
PXt=n=∝tne-∝tn! para n=0, 1, 2, …..

X(t):
el número de llegadas enun tiempo transcurrido t, tiene distribución Poisson con media λ
Llegadas:
Tiempo entre 2 llegadas consecutivas tiene distribución exponencial con media α = 1 /λ

X(t):
el número de servicios en un tiempo transcurrido t, tiene distribución Poisson con media µ
Servicios:
Tiempo de servicio tiene distribución exponencial con media α = 1 /µ

SISTEMA DE COLAS M/M/1

Parámetros:...