Teoria de colas- proceso de nacimiento y muerte

Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegadas de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte.



Proceso de nacimiento y muerte

Nacimiento : Llegada de un nuevo cliente al sistema de colas

Muerte : Salida del cliente servido

9-2Recordemos que N(t) es el número de clientes que hay en el sistema en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos como cambia N(t) al aumentar t. Suposición 1

Suposición 2 Dado N(t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación del servicio) es exponencial con parámetro µ n ( n = 1,2...)Suposición 3

Dado N(t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro λ n ( n = 0,1,2...)

Las variables aleatorias de los tiempos que faltan para la próxima llegada y para la terminación del servicio son mutuamente independientes
Transición en el estado del proceso n n+1 o n n-1
9-4

Diseño: Andrés Gómez

9-3Diseño: Andrés Gómez

El proceso de nacimiento y muerte es un tipo especial de cadenas de Markov de tiempo continuo. λ0
0 1

λ1
2 n-2

λ n-2
n-1

λ n-1 λ n
n n+1

Supongamos que en el tiempo cero se inicia el conteo del número de veces que el sistema entra en cualquier estado n y el número de veces que sale del mismo.

µ1

µ2

µ n-1

µn

µ n+1

En(t) : Número de veces queel sistema entra al estado n hasta el tiempo t Ln(t) : Número de veces que el sistema sale del estado n hasta el tiempo t

λ n : Tasa media de llegadas cuando el sistema está en el estado n. λ (Del n al n+1) µ n : Tasa media de salidas cuando el sistema está en el estado n. µ (Del n al n-1)
Diseño: Andrés Gómez 9-5

Diseño: Andrés Gómez

9-6

1

En(t) - Ln(t)

≤1

Como los dostipos de eventos deben alternarse la diferencia será a lo sumo 1

Lim
t ∞ ∞

En(t) t Ln(t)
∞ ∞

: Tasa media a la que el proceso entra al estado n

Lim En(t) t En(t)
∞ ∞

-

Ln(t) t Ln(t) t

≤

1 t

t

t

: Tasa media a la que el proceso sale del estado n

Lim
t

t

-

=0

Para cualquier estado n (n=0,1,...) del sistema, la tasa media de entrada es igual a la tasamedia de salida

Diseño: Andrés Gómez

9-7

Diseño: Andrés Gómez

9-8

Ecuaciones de balance Se deben construir las ecuaciones que expresan el principio de la tasa media de entrada igual a la tasa media de salida para todos los estados.

Estado 0
Las Pn son las probabilidades de estado estable de encontrarse en el estado n. P1 representa la proporción de tiempo posible que el procesose encuentra en el estado cero

µ 1 P1 = λ 0 P0
Tasa media global de entradas al estado 0 Tasa media global de salidas del estado 0

Después de construir las ecuaciones de balance para todos los estados en término de las probabilidades Pn desconocidas, se puede resolver este sistema de ecuaciones ( más una ecuación que establezca que la suma de las Pn debe ser 1).
Diseño: Andrés Gómez 9-9Nota : µ 0 = 0 ya que si el sistema est á en el estado 0 no puede haber muertes.
Diseño: Andrés Gómez 9-10

Estado 1 λ 0 P0 + µ 2 P2 = (λ1 + µ 1 ) P1 λ
Tasa media global de entradas al estado 1 Tasa media global de salidas del estado 1

Estado 0 Estado 1 Estado 2

µ 1 P1 = λ 0 P0 λ 0 P0 + µ 2 P2 = (λ1 + µ 1 ) P1 λ λ 1 P1 + µ 3 P3 = (λ2 + µ 2 ) P2 λ

Estado n-1

λ n -2 Pn -2 + µ n Pn =(λn -1 + µ n -1 ) Pn -1 λ λ n -1 Pn -1 + µ n+1 Pn+1 = (λn + µ n) Pn λ Sigue

Se continua con esta metodología y se deben construir para todos los demás estados. Recordemos que la sumatoria de las Pn debe ser igual a 1
Diseño: Andrés Gómez 9-11

Estado n

Diseño: Andrés Gómez

9-12

2

Estado 0 1 2

Estado

P1 = ( λ 0 / µ 1 )P0 P2 = ( λ 1 / µ 2 )P1 + (1 / µ 2 ) (µ1 P1 - λ 0 P0...