teoria de colas










UNIVERSIDAD DEL VALLE


FACULTAD DE INGENIERIA


ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y ESTADISTICA


CURSO : MODELACION ESTOCASTICA


MAESTRIA EN INGENIERIA INDUSTRIAL
(énfasis en sistémica)

PROFESORES: VICTOR GONZALEZ Y GABRIEL CONDE



ACETATOS DE LA CLASE TEORIA DE COLAS
(FEB 26/2005)


COLAS O LINEAS

Hay dos actores principales que conforman elsistema: los cliente y los servidores. Estos sistemas se consideran como casos especiales de un estudio más general: simulación de eventos discretos. Así que consideraremos el sistema como < la fila más los servidores >

En estos casos hay tres variables que se utilizan: 1) de tiempo, 2) de conteo y 3) las variables de estado del sistema. Cuando ocurre un “evento” los valores de estas variables semodifican

Características:

La llegada de los clientes se genera de una fuente entrando en el sistema. (Población de clientes = finita o infinita)

Se consideran dos variables temporales: 1) tiempo entre llegadas de los clientes y 2) tiempo de servicio por cliente.

Tamaño de la cola : finita o infinita

La disciplina de la cola: orden en que se seleccionan los clientes de la cola, (FIFO= FCFS, LIFO = LCFS, SIRO, Prioridad)

Pueden haber uno o varios servidores. En paralelo, en serie o en red.

Los modelos más sencillos y más utilizados constan de una cola y varios servidores.

Cantidades en que usualmente podremos estar interesados en un estudio de colas (las cuales llamaremos “medidas de desempeño del sistema”):

Estado del sistema = n = número de clientes en elsistema.

Longitud de la cola = número de clientes que esperan servicio.

Ls = número esperado de clientes en el sistema.

Lq = número esperado de clientes en la cola.

ws = tiempo aproximado de espera en el sistema.

wq = tiempo aproximado de espera en la cola.

c = número esperado de servidores ocupados.

Pn = probabilidad de que n clientes estén en el sistema.

Nota: Estas cantidadesson relativamente fáciles de calcular cuando el sistema entra en lo que llamaremos “estado estable” que se presenta después de que ha transcurrido un tiempo suficientemente grande. En contraste está el “estado transitorio” las cuales prevalecen cuando el comportamiento del sistema depende del tiempo.

MODELO GENERALIZADO DE POISSON

Usamos tasa de llegada (n) y tasa de servicio (n)dependientes del estado del sistema.

Para aclarar el hecho de que la tasa sea dependiente del estado del sistema, miremos lo siguiente:
Si  representa la “tasa unitaria” de llegada entonces cuando hay n clientes en el sistema la tasa de llegada será:

n = n.

Si un sistema de colas tiene c servidores en paralelo y  es la tasa de servicio “por servidor”, para n clientes en el sistema la tasade salida del sistema será:


Se quiere deducir una expresión para el cálculo de la probabilidad (de estado estable) pn de n clientes en el sistema.

Ojo! de esta probabilidad dependen prácticamente todas las medidas de desempeño del sistema.

Deducción de una expresión para pn

Diagrama de tasas de transición:



El sistema se considera una cadena de Markov donde n = 0, 1, 2, ....(número de clientes en el sistema) representa los estados del sistema.

Si Tn es la tasa esperada de flujo desde el estado n, entonces

Tn = n-1pn-1 + n+1pn+1

Desde otro lado: Tn = (n + n)pn

Entonces la “ecuación de equilibrio” será:

n-1pn-1 + n+1pn+1 = (n + n)pn , n  1

Según el diagrama siguiente para n = 0 tenemos: 0p0 = 1p1.

Actuando recursivamente obtenemos:
; sin = 1, y
Utilizando podemos calcular p0 y después los pi i


MEDIDAS DE DESEMPEÑO DE ESTADO ESTABLE

Teniendo en cuenta la notación anteriormente establecida deducimos las siguientes relaciones importantes:

; ; Ls = efws ; Lq = efwq

n = tasa media de llegadas de clientes cuando hay n clientes en el sistema. (n =  si es constante).
ef = tasa promedio efectiva =...