Teoria de conjunto

Teoría de Conjuntos
La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una"agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de unbolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está biendefinida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento.
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula:

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácterindividual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula:

De esta manera, si es un conjunto, y todos sus elementos, es común escribir:

Para definir a tal conjunto. Esta notación empleada para definir al conjunto se llama notación por extensión.
Para representarque un elemento pertenece a un conjunto , escribimos (léase " en ", " pertenece a " o bien " es un elemento de "). La negación de se escribe (léase " no pertenece a ").
El conjunto universal, que representaremos como (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces es el conjunto de los números enteros; si hablamos deciudades, es el conjunto de todas las ciudades. Todos los elementos posibles están en este conjunto:
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Este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o puede darse por supuesto según el contexto que estemos tratando.
Existe además, un único conjunto que no tiene elementos, al que se le llama conjunto vacío y que se denota por , esto es: . La característica importante de este conjuntoes que todos los elementos posibles no están contenidos en él:
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Por otro lado, si todos los elementos de un conjunto satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición p(x), con la indeterminada x, usamos la notación por comprensión, y se puede definir:
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Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x, que cumplen la propiedad p(x)". El símbolo ":" selee "que cumplen la propiedad" o "tal que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra .
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Por ejemplo, el conjunto:

puede definirse por:

donde el símbolo representa al conjunto de los números naturales.
Clasificación de los conjuntos:
: Conjunto de los Números Complejos : Conjunto de losNúmeros Reales
: Conjunto de los Números Racionales : Conjunto de los Números Irracionales
: Conjunto de los Números Enteros
: Conjunto de los Números Naturales y dentro de estos se distinguen entre los Naturales y los Naturales incluyendo...