Teoria De Conjunto

Páginas: 45 (11044 palabras) Publicado: 19 de abril de 2012
Temario
0. Teoría de Conjuntos
0.1 - Conjuntos y Funciones
0.1.1. Términos no definidos
0.1.2. Contenencia
0.1.3. Igualdad de Conjuntos
0.1.4. Unión
0.1.5. Intersección
0.1.6. Resta
0.1.7. Productos
0.1.7.1. De un Elemento por un Conjunto
0.1.7.2. De dos Conjuntos
0.1.7.3. Cartesiano
0.2. Relaciones
0.2.1. Reflexiva
0.2.2. Simétrica
0.2.3. Antisimétrica
0.2.4. Transitiva
0.2.5.De Orden
0.2.6. De Equivalencia
0.2.6.1 Clases de equivalencia *
0.2.7. Función
0.2.7.1. Función Inyectiva
0.2.7.2. Función Sobreyectiva
0.2.7.3. Función Biyectiva

0.1 - Operación Binaria

0.1.1. Propiedades de las Operaciones
0.1.1.1. Cerradura o Clausura
0.1.1.2 Asociatividad
0.1.1.3. Conmutatividad
0.1.1.4. Existencia de Elemento Neutro
0.1.1.5. Existencia de Inversos
0.1.1.6.Tablas de Operaciones

1 - Grupos
1.1. Ejemplos
1.2. Tablas de Operaciones
1.3. Definición de Grupo
1.4. Algunos Lemas Preliminares
1.5. Subgrupos
1.5.1. Ejemplos
1.5.2. Definición

2. Relaciones entre los números de elementos
2.1. La Relación de Congruencia Módulo H
2.2. Teorema de Lagrange
2.3. Relaciones entre los Números de Elementos
2.4. Subgrupo Normal

3 - Homomorfismos3.1. Ejemplos
3.2. Definición
3.3. Automorfismos
3.4. El Teorema de Cayley

4 - Permutaciones

5 - Los Teoremas de Sylow










Capítulo 0

CONJUNTOS Y FUNCIONES



CONJUNTOS, ELEMENTOS, PERTENENCIA

Llamaremos Conjunto a cualquier grupo o colección de objetos o cosas.

Simbolizaremos los conjuntos con letras de imprenta mayúsculas: A, B, C, D...etc.

Gráficamentelos conjuntos son representados por medio de círculos, óvalos o rectángulos.

Los objetos o cosas que conforman un conjunto serán llamadas, sus Elementos.

Simbolizaremos los elementos con letras cursivas minúsculas: a, b, c,...x, y, z.

Diremos que un objeto o cosa pertenece, o es elemento de un conjunto, si se encuentra en dicha colección.

Si a es un elemento del conjunto B,simbolizaremos la situación como: a ε B.La situación de que t no sea elemento del conjunto H la simbolizaremos: t ( H.

Se acostumbra denotar un conjunto enumerando sus elementos, separándolos con comas, y encerrandolos, todos juntos, entre llaves.

Asi por ejemplo, el conjunto de las vocales puede denotarse:
V = {a,e,i,o,u}

Y su representación gráfica sería:

((((((((((((
( V a (( e i (
( o u (
((((((((((((

Notese que: a ( V (a pertenece a V)
pero, que: m ( V (m no pertenece a V)

Lamaremos Conjunto Unitario al conjunto que sólo posee un elemento.

Ejemplos: A = {π}

B = El Conjunto de los Satélites Naturales de la Tierra
Llamaremos Conjunto Vacío al conjunto que no tiene elementos, y lo simbolizaremos: φ o { }


DENOTACION DEUN CONJUNTO UTILIZANDO VARIABLES

También puede denotarse un conjunto mediante el uso de un símbolo que represente a todos, y a cada uno de sus elementos, (una variable) seguido del signo "/" que se lee "tal que" y la propiedad que caracteriza, o la condición que cumplen, sus elementos (una Función Proposicional que utilice la misma variable). Todo esto encerrado entre llaves.

La denotacióntendría la forma:

A = {x / α(x)}

Donde x es la variable, y α(x) la función proposicional.

La variable x puede tomar valores en un cierto conjunto llamado su Universo

El conjunto de valores del Universo para los cuales la función proposicional es verdadera se denomina su Dominio.

Asi, el conjunto de las vocales se denotaría ahora:

V = {x / x es una vocal}

En este caso, x es lavariable
α(x) ( "x es una vocal", es la función proposicional.
El conjunto de las letras del alfabeto sería el Universo
El conjunto {a,e,i,o,u} es el Dominio de α(x)

El conjunto de las personas que toman café se denota:

F = {y / y es una persona que toma café}

y es la variable, β(y) ( "y es una persona que toma café",
constituye la función proposicional.

El conjunto de las...
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