Teoria de conjunto

Dr. Gerardo Delgadillo Piñón
Asignatura: Teoría de Conjuntos

Contenido de la Asignatura

Capítulo I.- Elementos de la Teoría de Conjuntos

1. Álgebra de Conjuntos: unión, intersección y complemento.

2. Productos Cartesianos, Relaciones, Funciones y Familias.

3. Los Números naturales.

4. La extensión de los naturales a los reales.

Capítulo II.- Cardinalidad1. Conjuntos finitos e infinitos.

2. Conjuntos numerables y no numerables.

3. Equivalencia de conjuntos

4. La no numerabilidad del conjunto de los números naturales.

5. Números cardinales.

6. El Teorema de Cantor-Shöröder-Berstein.

7. El Teorema de Cantor.

8. Hipótesis del continuo.

9. Aritmética cardinal.

Capítulo III.- El Axioma de Elección.1. Conjuntos parcial y totalmente ordenados.

2. Axioma de elección, lema de Zorn y teorema del Buen Orden.

3. Aplicaciones del Teorema de Elección.

4. Algunas Paradojas de la Teoría de Conjuntos.

Capítulo IV.- Números Ordinales.

1. Números Ordinales.

2. El Axioma de Reemplazo.

3. Inducción y recursión transfinita.

4. Aritmética Ordinal.

5.Ordinales iniciales y Alephs.

6. Suma y multiplicación de Alephs.

Bibliografía.

* Hernández Hernández Fernando
Teoría de Conjuntos SMM. México 1998.
*Holmos Naive Set Theory Springer
Verlag New York Inc. USA
Teoría intuitiva de los Conjuntos
C.E.C.S.A. México 1980.
Lipschtz s. Teoría de Conjuntos y Temas a fines Mc Graw Hill, México 1981.

TEORIA DE CONJUNTOSUna propiedad es una proposición tal que para cualquier objeto es posible decir si dicho objeto la verifica.

Con P(x) denotaremos una propiedad de x, es decir, una proposición relativa a x, la cual tiene una valor de verdad que puede ser verdadero o falso.

NOTA: Las nociones primitivas de la teoría de conjuntos son: “conjuntos” y “la relación de pertenencia”, es decir, ser un elementode, en otras palabras no la definiremos.

AXIOMA 1 .- (DE EXISTENCIA)

Hay o existe un conjunto que no tiene elementos.

Ejemplo 1.- El conjunto de todos los números reales que satisfacen la ecuación x2+1=0

AXIOMA 2 .- (DE EXTENSIÓN)

Si todo elemento de X es un elemento de Y, y todo elemento de Y es elemento de X, entonces X=Y. Con ayuda de la lógica matemática lo anterior lo podemosescribir

X=Y ( ([pic])(x[pic] => x[pic] ) [pic] ([pic])( x[pic] => x[pic])

Observación: El axioma De Extensión no solo es una propiedad lógicamente necesaria de igualdad, si no es una proposición no trivial acerca de pertenencia.

Propiedad 1.- Hay un único conjunto que no tiene elementos.

Demostración: Supongamos por contradicción que hay 2 conjuntos, digamos A y B que no tienenelementos, tales que A[pic]B.

Analicemos la siguiente proposición condicional x[pic] A => x[pic] B, como el antecedente de la condicional en cuestión es falso ya que A no tiene elementos la condicional es verdadera análogamente x[pic] B => x[pic] A. Por la misma razón es verdadera.

Así (x[pic] A => x[pic] B)[pic] (x[pic] B => x[pic] A) es verdadera.

Por el axioma De Extensión se tiene A=B locual es una contradicción de lo que hemos supuesto. Luego, no es posible que existan 2 conjuntos distintos que no tienen elementos. El conjunto que no tiene elementos es único.

Ejemplo 1.- El único conjunto que no tiene elementos se le llama el conjunto vacío, el cual se denota por [pic].

AXIOMA 3.- ( ESQUEMA DE COMPRENSIÓN).

Sea P(x) una propiedad de x, para cualquier conjunto A hay unconjunto B tal que x[pic] B sí, y sólo si, x[pic] A y P(x).

Ejemplo 3. Sean C y D dos conjuntos, entonces existe un conjunto E tal que x[pic] E sí, y sólo si x[pic] C y x[pic] D donde P(x)= “x[pic] D”.

Demostración x[pic] B ( x[pic] [pic] y x[pic] D.

Proposición 1.- El conjunto de todos los conjuntos no existe.

Demostración. Supongamos lo contrario, es decir, que existe U el conjunto...