Teoria de conjuntos

Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos yestá destinado a exponer temas básicos, que se utilizarán en desarrollos posteriores y queserán fundamentales para comprender lo expuesto en ellos.  Estudiaremos las operaciones:inclusión, intersección, diferencia de conjuntos, etc., en conjuntos dados y luegoextenderemos esos conceptos al conjunto de los númerosreales donde algunas de lasoperaciones son una herramienta imprescindible para calcular el dominio de funcionesreales de una variable real. Seguidamente, abordaremos el estudio de funciones definidas encualquier conjunto para luego definir lo que se conoce como función real de una variablereal, determinaremos el dominio de funciones sencillas y de funciones compuestas.1.1. Conjunto: La noción deconjunto es  acepta como sinónimo de las nociones usual decolección, agrupación de objetos, etc. Los objetos de un conjunto se llaman: miembros oelementos, sin embargo, de éstos dos términos el más usado es “elemento”.Cuando nos referimos a los objetos que componen un conjunto A, entonces usamosla palabra elementos del conjunto A.1.2.  Pertenencia: Lo necesario para dar un conjunto es conocer suselementos. Estas dospalabras: conjunto y elemento, están relacionadas por la pertenencia o no de undeterminado objeto a un determinado conjunto.Las palabras conjunto y elemento son precisadas por las siguientes reglas:a)  Un conjunto X está bien definido cuando se dispone de un criterio para afirmar  que cualquier objeto a, pertenece al conjunto X o si no pertenece al conjunto X. Si elobjetoa pertenece al conjunto X se usa el símbolo de pertenencia “” escribiendo aX, el cual selee “a pertenece a X” o “a es un elemento de X”. Si el objeto a no pertenece al conjunto Xse usa el símbolo de no pertenencia “”, así escribimos aX, el cual se lee “a no pertenecea X” o “a no es elemento de X”.b)  Un objeto no puede ser a la vez un conjunto y un elemento de ese conjunto, esdecir, no es aceptado que puedasuceder aa.1.3.  Formas de expresar losconjuntos: Los conjuntos pueden ser expresados de lassiguientes formas:1.3.1.   Por extensión: Cuando se nombran todos y cada uno de sus elementos.Ejemplos 1.1. 1.3.2.   Por comprensión: Cuando se indica una propiedad que caracteriza  a sus elementos.  Ejemplos 1.2. Como podemos observar en los ejemplos 1.1, se nombran los todos elementos de cadaconjunto,mientras que en los ejemplos 1.2 se indicó la característica común a los elementos decada conjunto. 1.4. Ejercicios propuestos A. Los conjuntos pueden ser vinculados entre sí mediante relaciones, las cuales puedengenerar otros conjuntos. Consideramos en primer lugar una relación entre conjuntos llamadainclusión.1.5.  Inclusión de un conjunto en otro: Sean A y B dos conjuntos. El conjunto A estáincluido enel conjunto B  si se verifica que cada elemento de A pertenece a B. Esto se indica de la manerasiguienteque se lee A es un subconjunto de B.ABABEjemplo 1.3.Si A = {0, 3, 4, 1}   y   B = {0,1, 2, 3, 4}, como cada elemento del conjunto A es elementode B, entoncesComo todos los elementos de A pertenecen a B, se dice, que A estaestrictamente incluido en B. El conjunto vacío, denotadopor(conjunto que carece de elementos) es subconjunto decualquier conjunto, es decir,y todo conjunto Aes subconjunto de sí mismo, esto es,Si un conjunto A no es un subconjunto de otro B, se indica de la manera siguiente:Por ejemplo,no es un subconjunto depuesto que,loque se expresa así:Otras relaciones entre conjuntos son las denominadas unión e intersección de conjuntos,las cuales conoceremos acontinuación.1.6.  Unión de conjuntos: Sean A y B dos conjuntos. La unión de A y B es el conjunto formadopor los elementos de A o de B o de ambos conjuntos. Se le designa, que se lee A unión B.ABABEjemplo 1.4.Si A = {0,1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, entonces,Es denotar que los elementos depertenecen al conjunto A o pertenecen al conjunto B o a ambos |
| | | | |
|

Las matrices aparecen...