Teoria de conjuntos

Teoría de Conjuntos
Definición de Conjunto

Un conjunto es una agrupación o colección de objetos bien definidos que tienen propiedades comunes.

Notación

Los conjuntos son denotados por A, B, C, y sus elementos por las letras minúsculas a, b, c, etc. , por ejemplo: [pic]

Determinación de un conjunto

Un conjunto puede ser definido de dos maneras:

Por extensión, se enumera todos ycada uno de sus elementos. En este caso sus elementos se encierran entre llaves, por ejemplo: A = { 2, 4, 6, 8, 10 }

Por comprensión, cuando se define por medio de una propiedad o característica común a todos los elementos, por ejemplo: [pic]

CONJUNTOS NUMÉRICOS:

Números Naturales:

Los números naturales son aquellos que normalmente utilizamos para contar. Son aquellos números positivos y sin parte decimal.

[pic]
Números Enteros:

Son todos los números naturales y sus opuestos, es decir, los números enteros positivos y negativos.
[pic]
Números Racionales:

Son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción. Incluyen los naturales y enteros.

Números Irracionales:

Son los números que poseen infinitas cifras decimales.

[pic] [pic] [pic]Números Reales:

|Incluyen todos los números anteriormente descritos. Cubren la |[pic] |
|recta real y cualquier punto de esta es un número real. | |

Diagramas De Venn- Euler

Son dibujos cerrados que sirven para representar a un conjunto entreellos tenemos:
[pic]

Relación entre conjuntos

Pertenencia

Dado un conjunto A y un elemento cualquiera a se cumple una de las dos condiciones siguientes: [pic]
[pic]
a es un elemento del conjunto A, entonces se denota por: [pic]
b no es un elemento del conjunto A, se denota por: [pic]

Inclusión de conjuntos (subconjuntos)

Se dice que A está contenido en B (también que A es unsubconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A ⊆ B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, [pic]
[pic]
Igualdad de conjuntos

Se dice que dos conjuntos A y B son iguales, y se denota A = B, si cumplen con: [pic]; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos.

Conjuntos especiales

Conjunto vacío. Es aquel que no tiene elementos y se representa por: [pic]Es decir: [pic]
Ejemplos:
[pic]

Conjunto universal. Es aquel que se toma como base para definir otros conjuntos y se denota por U. Los más importantes son los conjuntos numéricos.

Nota.
1. Para cualquier conjunto A se verifica que [pic]
2. Si: [pic], se dice que B es un subconjunto propio de A si [pic].

Conjunto potencia. Es el conjunto formado por todos lossubconjuntos de un conjunto A, y se denota P(A).

Ejemplo:

Si [pic] y si [pic]

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unión de conjuntos

 La unión entre dos conjuntos, A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B, es decir: [pic]

|[pic] |

Ejemplo:

Sean los conjuntos:

[pic]

Intersecciónde conjuntos

La intersección entre dos conjuntos, A y B, es el conjunto formado por todos los elementos comunes entre los conjuntos A y B, es decir: [pic]

|[pic] |

Ejemplo:

Sean los conjuntos:

[pic]

Diferencia de conjuntos

La diferencia entre dos conjuntos, A y B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen alconjunto A pero no pertenecen al conjunto B; es decir: [pic]

|[pic] |

Ejemplo:

Si [pic]

Diferencia simétrica

La diferencia simétrica entre dos conjuntos, A y B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a la unión entre A y B y no pertenecen a la intersección entre A y B; es decir: [pic].
También puede...