Teoria de conjuntos

Resumen de Elementos B´sicos de Teor´ de Conjuntos B´sica a ıa a ´ Secci´n B-07 C´lculo o a Algebra Profesores: Luis M. Riquelme Q. Felipe A. L´pez B. o Ayudantes: Mauricio S. Olivares A Felpe E. Paredes G.
Abril de 2009.

1.

Definiciones B´sicas a

Entenderemos un conjunto como una agrupaci´n de elementos, cualquiera sea la o naturaleza de estos. Por ejemplo son conjuntos Ejemplo 1.1. 1.R 2. N 3. N0 4. Z 5. Q 6. C 7. X = {−1, 0, 1} 8. Y = {a, i, u, e, o} 9. A = {x ∈ R : |x − 1| ≤ 2} 10. B = {0, 1} 11. C = x∈R:x∈N ∨ 1 ∈N x

12. D = {♣, ♠, ♥, , ♦, ⋆} 13. E = {X, B}, donde X y B son los conjuntos definidos en los ´ ıtemes 7 y 10. Vale decir, podemos dar una infinita gama de ejemplos de conjuntos. La relaci´n b´sica entre un elemento y su conjunto es la relaci´n de pertenencia, o a odenotada por ∈. Asi, dado un elemento x y un conjunto X, entonces x ∈ X significa que x pertenece a X. 1

x ∈ X significa que x no pertenece a X. / Ejemplo 1.2. −3 ∈ R 3∈R

1 ∈R 8 √ 2∈R 3∈N −3 ∈ N / 1 ∈Z / 8 √ 2∈Q / Observaci´n 1.3. En los ´ o ıtemes 9 y 11 del ejemplo 1.1, ya en verdad hab´ ıamos usado esta relaci´n. Lo que estamos queriendo decir ah´ es que los elementos x son obtenidos o ı,desde los n´ meros reales, y pertenecer´n al conjunto si cumplen la condici´n descrita. u a o Esa forma de definir un conjunto se denomina definici´n por comprensi´n, cuando o o en cambio simplemente enumeramos los elementos del conjunto, esa forma se conoce como definici´n por extensi´n, que es la que utilizamos por ejemplo al definir el o o conjunto en los ´ ıtem 7 y 10 en el ejemplo 1.1.

Dentrode los conjuntos con los que trabajaremos, siempre habr´ dos conjuntos a b´sicos que utilizaremos, el conjunto referencia o universo, denotado por Ω y el conjunto a vacio, denotado por ∅. Una convenci´n alternativa tambi´n utiliza a veces U para el o e referencia o universo, y {} para el conjunto vac´ nosotros sin embargo usaremos Ω y ıo, ∅. Definici´n 1.4. o El conjunto referencia Ω es aquelconjunto desde el cual suponemos provienen todos los elementos que son nuestro objeto de interes en un problema determinado, por ejemplo en los ´ ıtemes 9 y 11 del ejemplo 1.1 estamos considerando Ω = R. El conjunto vac´ ∅ es aquel que carece de elementos. ıo Definici´n 1.5. Diremos que el complemento de un conjunto X, esta formado por o todos los elementos que son parte de Ω, pero que no son parte deX, este conjunto lo denotaremos por X c . Gr´ficamente el concepto se ilustra en la figura 1 a 2

Ω Xc X

Figura 1: Complemento de un conjunto

Ejemplo 1.6. 1. Si X =] − ∞, 5], entonces X c =]5, +∞[. 2. Si X = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1} entonces X = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 > 1} Algunas propiedades del complemento son: 1. Ωc = ∅ 2. ∅c = Ω 3. (X c )c = X Una relaci´n b´sica entre conjuntos esla relaci´n de inclusi´n o a o o Definici´n 1.7. o Diremos que X es un subconjunto de Y , hecho denotado por X ⊆ Y o X ⊂ Y , si todos los elementos de X, son tambi´n elementos de Y , vale decir e X ⊆ Y ⇐⇒ (x ∈ X =⇒ x ∈ Y ) Diremos que X es un superconjunto de Y , hecho denotado por X ⊇ Y o X ⊃ Y , si todos los elementos de Y , son tambi´n elementos de X, vale decir e X ⊇ Y ⇐⇒ (x ∈ Y =⇒ x ∈ X)Diremos que X = Y ⇐⇒ X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X

3

Ω Y X

Figura 2: X ⊆ Y En la figura 2 observamos X ⊆ Y o equivalentemente Y ⊆ X Observaci´n 1.8. La diferencia entre X ⊆ Y y X ⊂ Y es que en el primer caso o incluso se admite la posibilidad de que X = Y , mientras en el segundo X = Y , es claro entenderlo si lo pensamos como la diferencia entre afirmar x ≤ y o en cambio x < y.

Ejemplo 1.9. 1. Si X =] −∞, 5] e Y =] − ∞, 2[, entonces Y ⊆ X. 2. Si X = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1} e Y = Y ⊆X Algunas propiedades de la inclusi´n son: o 1. X ⊆ Ω para cualquier conjunto X. 2. ∅ ⊆ X para cualquier conjunto X. 3. X ⊆ Y ∧ Y ⊆ Z =⇒ X ⊆ Z. 4. X ⊆ Y ⇐⇒ Y c ⊆ X c (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1 , entonces 4

2.

Operaciones con conjuntos
Las operaciones b´sicas con conjuntos son las siguientes a

Definici´n...