Teoria de Conjuntos

TEORIA DE CONJUNTOS.
AÑO: TERCERO




Capítulo 1
CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS

CONJUNTOS

El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la matemática. Intuitivamente un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que, como se verá en los ejemplos, pueden ser cualquiera: números, personas, letras, ríos, etc. Estos objetos se llaman elementoso miembros del conjunto.

Si bien los conjuntos se estudian como entidades abstractas, enumeremos diez ejemplos particulares de conjuntos.

Ejemplo 1-1: Los números 1, 3, 7 y 10.

Ejemplo 1-2: Las solución de la ecuación x2 – 3x – 2 = 0.

Ejemplo 1-3: Las vocales del alfabeto: a, e, i, o, u.

Ejemplo 1-4: Las personas que habitan en la tierra.

Ejemplo 1-5: Los estudiantes TomásRicardo y Enrique.

Ejemplo 1-6: Los estudiantes ausentes de la escuela.

Ejemplo 1-7: Los países Inglaterra, Francia y Dinamarca.

Ejemplo 1-8: Las ciudades capitales de Europa.

Ejemplo 1-9: Los números 2, 4, 6, 8,…

Ejemplo 1-10: Los ríos de los Estados Unidos.

Nótese que los conjuntos de los elementos impares vienen definidos, o sea presentados, enumerando de hecho sus elementos, yque los conjuntos de los ejemplos pares que se definen enunciando propiedades, o sea reglas, que deciden si un objeto particular es o no elemento del conjunto.

NOTACIÓN

Es usual denotar los conjuntos por letras mayúsculas
A, B, X, Y,…
Los elementos de los conjuntos se representan por letras minúsculas
a, b, x, y, …
Al definir un conjunto por la efectiva numeración de sus elementos, porejemplo, el A, que consiste en los números 1, 3, 7, y 10, se escribe
A = {1, 3, 7, 10}
separando los elementos por comas y encerrándolos entre {}. Esta es la llamada forma tabular de un conjunto. Pero si se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos como, por ejemplo, el B, conjunto de todos los números pares, entonces se emplea una letra, por lo general x, pararepresentar un elemento cualquiera y se escribe
B = {x | x es par}
lo que se lee «B es el conjunto de los números x tales que x es par». Se dice que ésta es la forma de definición por comprensión o constructiva de un conjunto. Téngase en cuenta que la barra vertical «|» se lee «tales que».

Para aclarar el empleo de la anterior notación, se escriben de nuevo los conjuntos de los Ejemplos 1-1 al1-10, designando los conjuntos por A1, A2,…, A10, respectivamente.

Ejemplo 2-1: A1 = {I, 3, 7, 10}.

Ejemplo 2-2: A2 = {x | x2 - 3x - 2 = 0}.

Ejemplo 2-3: A3 = {a, e, i, o, u}.

Ejemplo 2-4: A4 = {x | x es una persona que habita en la Tierra}.

Ejemplo 2-5: A5 = {Tomás, Ricardo, Enrique}.

Ejemplo 2-6: A6 = {x | x es estudiante y x está ausente de la escuela}.Ejemplo 2-7: A7 = {Inglaterra, Francia, Dinamarca},

Ejemplo 2-8: A8 = {x | x es una ciudad capital y x está en Europa}.

Ejemplo 2-9: A9 = {2, 4, 6, 8,. . .}.

Ejemplo 2-10: A10 = {x | x es un rió y x está en los Estados Unidos}.

Si un objeto x es elemento de un conjunto A, es decir, si A contiene a x como uno de sus elemen­tos, se escribe
x  A
que se puede leer también «xpertenece a A» o «x está en A». Si por el contrario, un objeto x no es ele­mento de un conjunto A, es decir, si A no contiene a x entre sus elementos, se escribe
x A
Es costumbre en los escritos matemáticos poner una línea vertical «|» u oblicua «/» tachando un símbo­lo para indicar lo opuesto o la negación del significado del símbolo.

Ejemplo 3-1: Si A = {a, e, i, o, u}, entonces a  A, b  A, e A, f A.

Ejemplo 3-2: Si B = {x | x es par}, entonces 3  B, 6  B, 11  B, 14  B.

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Intuitivamente, un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto el pro­ceso de contar puede acabar. Si no, el conjunto es infinito....