Teoria de conjuntos

MATEMÁTICAS I, TEMA: TEORÍA DE CONJUNTOS ING. RAMÓN MORALES HIGUERA AGOSTO 2006, SEMESTRE 2006-2

TEORÍA DE CONJUNTOS. La teoría de conjuntos es un sistema matemático y un lenguaje específico para el manejo de ciertos problemas. Al igual que otros sistemas matemáticos, como el álgebra y la geometría, consiste en un conjunto de conceptos básicos, definiciones, operaciones, propiedades yteoremas. Todas las ramas de las matemáticas utilizan estos conceptos básicos. En aritmética se consideran los conjuntos de números y las operaciones efectuadas con ellos; la geometría trabaja con conjuntos de puntos que definen diversas figuras y relaciones funcionales; el muestreo maneja subconjuntos de poblaciones concretas, etc. Las ideas básicas sobre conjuntos las desarrollaron Georg Cantor (1845-1918) y George Boole ( 18151864). Se puede definir que un conjunto es una colección bién determinada de objetos o elementos de cualquier índole ( números, libros, empresas, personas, resultados de experimentos, cuentas financieras, etc.), con o sin relación entre ellos. Por ejemplo: El conjunto de los meses del año El conjunto de los números impares positivos enteros Si un objeto pertenece alconjunto considerado, se dice que es un miembro o un elemento de este conjunto. Por ejemplo el número 21 es un elemento del conjunto de los números impares positivos enteros. Las letras mayúsculas A, B, C ,.........., se utilizan para expresar los conjuntos y las letras minúsculas a, b, c, ....... para denotar los elemento de dichos conjuntos. Se puede escribir que a es un elemento de A; que elconjunto B tiene como elementos a b, b´ y b ´´ , o que los elementos a, b, c, d pertenecen al conjunto E. NOTA : si el conjunto A tiene un solo elemento a, no se podrá escribir que a = A porque a solamente representa un elemento y A representa un conjunto. REQUISITOS ESENCIALES Para que exista un conjunto es necesario que se cumplan los siguientes requisitos: a).- La colección de objetos debe estar biendefinida. Si para un objeto cualesquiera nos preguntáramos : ¿ Pertenece al conjunto?, la respuesta debe ser clara y segura: Sí o no. b).- Ningún objeto del conjunto se debe contar más de una vez. En general, estos elementos deben ser distintos, y y si uno de ellos se repite debe contarse una sola vez. c).- El orden en que se enumeran los objetos carece de importancia . El conjunto de las letrasa, b, c, es idéntico al conjunto c, b, a, La siguiente expresión representa un conjunto C. C = { jugadores del equipo de fútbol Campeón } Y el signo igual se lee como ¨ es el ¨, las llaves significan conjunto formado por los ¨ y lo que queda dentro de ellas constituye la descripción del conjunto, o de sus elementos.

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Existen 2 métodos para especificar un conjunto: 1).- EL MÉTODO POR ENUMERACIÓN O EXTENSIÓN. Se enumeran todos los elementos, separándolos mediante comas y se encierran entre corchetes o llaves. EJEMPLO. A = { x, y, z, } significa que el conjunto A tiene como elemento a x, y, y z . E = { 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10 } se puede escribir E = { 1, 2, 3, ......, 10 } 2).-EL MÉTODO POR DESCRIPCIÓN O COMPRENSIÓN. Se define al conjunto por una frase descriptiva entre corchetes, conviniendo en que solo los objetos que satisfacen la descripción son elementos del conjunto. EJEMPLO 1. E = { x  x es una vocal del alfabeto latino } , lo c ual se lee : E es el conjunto de todos los elemento x tal que x representa una vocal del alfabeto latino. La determinación de E por elmétodo de enumeración sería: E = { a, e, i, o, u } EJEMPLO 2.- E = { x  x es un número comprendido entre 1 y 5 } . Determinándolo por el método de enumeración, sería: E = { 2, 3, 4 } NOTA: Si el conjunto A tiene como único elemento a a , se escribe: A = {a} EJEMPLO 3. Método de enumeración O = {1, 3, 5, 7, 9 } Expresado por el Método por comprensión, sería O = { X  X es un entero impar...