Teoria de conjuntos

UNIDAD 1 : TEORÍA DE CONJUNTOS

1.1. DEFINICIÓN
NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

Cualquier colección de objetos o individuos se denomina conjunto. El término conjunto no
tiene una definición matemática, sino que es un concepto primitivo. Ejemplos de conjuntos sonpor ejemplo el número de habitantes de una ciudad, el número de televisores en la ciudad de Mérida . Nuestro objetivo será estudiar aquellos conjuntos que están relacionados con el campo de la matemática, especialmente los conjuntos numéricos. La teoría de conjuntos es fundamental en matemática y de suma importancia en informática, donde encuentra aplicaciones en áreas tales como inteligenciaartificial, bases de datos y lenguajes de programación, etc.

Un conjunto es una colección de elementos diferentes. Los objetos que integran un conjunto, se llaman elementos de ese conjunto. Ejemplos de conjuntos son los siguientes:

El conjunto de los números enteros.
El conjunto de los números naturales mayores que 5 y menores que 9.
El conjunto formado por los estudiantes del primer semestrede la UNEFA.
El conjunto formado por un punto P en el plano y las rectas que pasan por el.
En general usaremos letras mayúsculas para designar a los conjuntos y letras minúsculas

A continuación definimos algunos conjuntos que utilizaremos en este curso.
 : el conjunto vacío, que carece de elementos.
N: 0, 1, 2, 3, 4, .............. el conjunto de los números naturales.
Z: ......-2,-1, 0, 1, 2, 3, ....... el conjunto de los números enteros.
Q : 0, ½, ¼, 1/5, ..... el conjunto de los números racionales.
R: ......-3, -2, 1, ½, 5, ..... el conjunto de los números reales.
C:  a- b i, a + bi  el conjunto de los números complejos.
En general, se designan los conjuntos usando letras mayúsculas: A, B, C, D,...... y los elementos con letras minúsculas: a, b, c, d,...... Los elementos del conjunto se suelen encerrar entre llaves  .

Ejemplo 1: El conjunto A que comprende las vocales

A= a, e, i, o, u

Ejemplo 2: El conjunto de los números naturales mayores que 5 y menores que 9

B=  6, 7, 8 

1.2 DEFINICIÓN DE CONJUNTOS POR EXTENSIÓN Y COMPRENSIÓN

Conjuntos por Extensión:

Se define un conjunto por extensión, aquellos en el cual seenumeran todos y cada uno de los elementos que lo constituyen.

Ejemplo 1: Determinar el conjunto A formado por los números enteros positivos entre 3 y 12

A =  4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 

Ejemplo 2: Determinar el conjunto B formado por los enteros positivos pares menores de 15

B =  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 

EJEMPLO 3.

El conjunto B = {x | x es natural e impar y x  3}

Estáformado por todos los números naturales impares mayores o iguales a 3. En este caso se trata de un conjunto con un número infinito de elementos, y por lo tanto no podemos definirlo por extensión.

EJEMPLO 4.

El conjunto C = {x | x es natural y 2  x  26 y x es potencia de 2}


Es el conjunto formado por los elementos 2, 4, 8, 16, 32 y 64. El conjunto C se define también por extensióncomo:

C = {2, 4, 8, 16, 32, 64}.




Conjuntos por Comprensión

Se define un conjunto por comprensión sólo y solo si se da la propiedad que caracteriza a sus elementos.

Ejemplo 1: Seleccionar el conjunto B de los números impares

Se representa así: B =  x / x es impar , esta es otra forma de representar un conjunto y se lee: “ B es el conjunto de los números x, tales que x esimpar “

Ejemplo 2: B := {p Z / p es par

Ejemplos de conjuntos por comprensión
A = { x / x es número entero}
B = { x / x es un número par menor que 10}
C = { x / x es una letra de la palabra conjuntos}
D = {x / x es una mujer de nacionalidad venezolana }
E = {x / x es color básico}
1.3 PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA ( ,  )

Si x es un elemento del conjunto A, se escribe x  A...