TEORIA DE CONJUNTOS






TEORÍA DE CONJUNTOS


DEFINICIÓN DE CONJUNTO

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.

Cuando un elemento
x1 pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x1
A . En
caso de queun elemento
y1 no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y1 A

Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:

1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.

2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que seestablece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es:

A x P x
x1 , x2 , x3 ,
, xn

que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P x es

verdadera, como
x1 , x2 , x3 , etc1.

3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjuntoo las relaciones entre conjuntos2.

4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.

Ejemplo.
Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y por diagrama de Venn.

Solución.
Por extensión: V

a,e,i ,o,u ai
Por comprensión: V x
Por diagrama de Venn:
x es una vocal
o

e u
V


1 La notación P x
conjunto.
no representa un producto, es una condición que deben satisfacer los elementos para pertenecer a un
2 En el caso particular de que un conjunto tenga un sólo elemento numérico, a menos de que se haga la distinción, no representa el número de elementos que poseeel conjunto.



Ejemplo.
Expresar de las tres formas al conjunto de los planetas del sistema solar.

Solución.
Por extensión: P

Mercurio,Venus,Tierra,Marte, Júpiter ,Saturno,Urano, Neptuno, Plutón

Por comprensión: P x
Por diagrama de Venn:

x es un planeta del sistema solar





Marte


Plutón
Urano
Neptuno

Saturno

Júpiter

Mercurio

Tierra


VenusP




Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B , se dice que A es un
subconjunto de B . La notación A
B significa que A está incluido en B y se lee: “ A es subconjunto
de B ” o “ A está contenido en B ”.

Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B , se dice que A no es
subconjunto de B . En este caso la notación A
Bsignifica que A no es un subconjunto de B .

Gráficamente, esto es:


B B B

A A A



A
B
A
B
A
B
B
A
B
A
B
A

En los ejemplos anteriores, si F
a ,e,o
es el conjunto de las vocales fuertes y
S Mercurio,Venus

es el conjunto de planetas que no poseensatélites, entonces se cumple que:
F V y que S
P . De la misma forma, nótese como: F
P , S
V , F
S y S F .

La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee. Se denota por medio
de los símbolos o # .
De los conjuntos anteriores: V 5 ,
F 3 , P
9 y S 2 .



CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS

Un conjunto vacío o nuloes aquel que no posee elementos. Se denota por: o bien por . El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplos.
x

x

x

x son los dinosaurio s que viven en la actualidad x son los hom bres mayores de 300 años
x son números positivos menores que cero

Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo...