Teoria de conjuntos

¿Qué es un conjunto?
Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembrodel conjunto. Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos: como lo son la unión de conjuntos, intersección, diferencia, y complemento. Veremos una definición breve de cada uno de ellos y algunos ejemplos de como se diferencian.
1. Unión de conjuntos.
2. Intersección deconjuntos.
3. Diferencia de conjuntos.
4. Conjunto de complementación.

1. Unión de Conjuntos.
El primero es la Unión de conjuntos, que es la unión de dos o más conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto delos números impares positivos. Dados dos conjuntos A y B, la unión de ambos, A ∪ B, es el conjunto que contiene todos los elementos de A y de B:



 Es idempotente: A U A = A.
 Es conmutativa: A U B = B U A
 Es asociativa: (A U B) U C = A U (B U C)
 Tiene elemento neutro, el vacío:

 Tiene elemento absorbente, el conjunto total, que denotamos por U: U U A = A


Ejemplo:Buscar la unión de A y B.

A = {1, 2, 4, 6} y = B {4, a, b, c, d, f}
A U B = {1, 2, 4, 6, 4, a, b, c, d, f} = {1, 2, 4, 6, a, b, c, d, f}
Tenga en cuenta que no se puede escribir dos veces 4 , si no una sola vez.

2. Intersección de conjuntos.
La intersección de dos conjuntos, que denotamos por una U invertida, está formada por los elementos que tanto en el conjunto A como en el conjuntoB. Es decir, diremos que un elemento pertenece a la intersección de A y B si y sólo si se cumple que xEA y xEB.
Esta operación cumple las siguientes propiedades:
 Es idempotente, es decir, la intersección de un conjunto consigo mismo da el mismo conjunto.

 Conmutativa.

 Es asociativa.

 Tiene elemento neutro que es el conjunto total, que denotamos por U.

Ejemplo: La intersecciónde dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Dados dos conjuntos A y B, la intersección de ambos, A ∩ B es un conjunto que contiene los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es elconjunto de los cuadrados pares D :
P = {2, 4, 6, 8, 10,...}
C = {1, 4, 9, 16, 25, ...}
D = {4, 16, 36, 64, ...}
La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.


3. Diferencia de conjuntos.

La diferencia entre dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iniciales que no esténen el segundo. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los números naturales N y el conjunto de los números pares P es el conjunto de los números que no son pares, es decir, los impares I:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
P = {2, 4, 6, 8,...}
I = {1, 3, 5, 7, ...}

Como no hay ningún número par que no sea un número natural, la diferencia P menos N no tiene ningún elemento, por lo que es elconjunto vacío. La diferencia entre dos conjuntos A y B se denota por A \ B ó A − B, por lo que: N \ P = I, y también P − N = ∅.

La diferencia del conjunto A y B, que denotamos por A-B o A\B, está formada por todos los elementos de A que no están en B. Se verifican las siguientes propiedades:

 Tiene elemento neutro, el vacío: A- Ø=A
 La diferencia de un conjunto menos él mismo es el...