Teoria de conjuntos

1.- DEFINICIÓN DE CONJUNTO:
El concepto de conjunto es conjunto es fundamental en todas las ramas de las matemáticas. Es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que, como se verán pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros de un del conjunto.
Los conjuntos se estudian como entidades abstractas. El concepto deconjunto a sido utilizado de forma tan generalizada en todas las matemáticas modernas, que es preciso su conocimiento por parte de todo estudiante de nivel universitario. Los conjuntos son un medio por el cual los matemáticos hablan de colecciones de objetos de una manera abstracta.
Según G. Cantor (1845- 1918), el matemático que desarrollo la teoría de conjuntos, ”un conjunto es una agrupación deobjetos simples en un todo”. La colección formada por una silla, por una pluma, una silla y una flor es un ejemplo de conjunto.
La idea de conjunto es básica en el pensamiento humano. La idea es algo puramente intuitivo, algo no definido, pero si entendido por cada persona como resultado de su propia experiencia. Gracias a que la idea de un conjunto es algo ya entendido, podemos identificarlo yhablar de èl. Cuando alguien habla de conjunto se refiere a una colección de objetos que se entiende se presentan juntos. Estos objetos se le laman miembros o elementos del conjunto
NOTACIÓN Y PROPIEDADES DE LOS SUBCONJUNTOS:
Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de A es un elemento de B. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
Un conjunto A se dice subconjunto de B, [pic]
, si todos los elementos de A pertenecen a B el reciproco no es necesario, pero si sucede, el conjunto A es igual a B. A esta relación se le conoce como relación de inclusión.
 
RELACION DE INCLUSIÓN: Es una relación conjunto - conjunto. Se dice que un conjunto A está incluido en otro B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B.
 

PROPIEDADES DE LOSSUBCONJUNTOS
Los subconjuntos tienen las siguientes propiedades:
REFLEXIVA.- Todo conjunto es subconjunto de si mismo.
A A
ANTISIMETRICA.- Si dados dos conjuntos A y B se verifica A B, entonces se deduce que B A.
  A B A B
TRANSITIVA.- Dados tres conjuntos A, B y C, si se verifica
A B y B C entonces A C 
A = {x I x es par}
B = {2,4,6,8}
C = {vocales}
D = {abecedario}  
Los subconjuntos seexpresan de la siguiente manera:
 AB (A es subconjunto de B)
CD (C es subconjunto de D)  

Los elementos del conjunto A esta contenido en B pero al revés no es cierto, es decir B no es subconjunto de A y se representa como: [pic]

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS:
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Es finito si consta d e un cierto número de elementos distintos, es decir, si alcontar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. Si no, el conjunto es infinito.
Ejemplo:
Si M es el conjunto de los días de la semana, entonces M es finito.
Si N={2,4,6,8...}, N es infinito.
Si P={x/x es un río de la tierra}, P es también finito aunque sea difícil contar los ríos del mundo.
CONJUNTO UNIVERSAL:
En toda aplicación de la teoría de conjuntos todoslos conjuntos que se consideran serán muy probablemente subconjuntos de un mismo conjunto dado. Este conjunto se llamará conjunto universal o universo del discurso y se denotará por U.
Ejemplo:
En geometría plana el conjunto universal es el de todos los puntos del plano.
En los estudios sobre población humana el conjunto universal es el de toda la gente del mundo.

 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSDados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A − B := {a ∈ A | a ∉ B}.
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A Δ B := (A − B) ∪ (Β − A).
Si A ∈ ℘ (U), a la diferencia U − A se le llama complementario de A respecto de U,
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).

Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U...