Teoria De Conjuntos

TEORÍA DE CONJUNTOS
Notación
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...
Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letraminúscula: a, b, k,...
De esta manera, si es un conjunto, y todos sus elementos, es común escribir:

para definir a tal conjunto . Esta notación empleada para definir al conjunto se llama notación por extensión
Para representar que un elemento pertenece a un conjunto A, escribimos (léase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La negación de se escribe (léase no pertenece a ).
Elconjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuestodado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.
Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío y que se denota por . Es decir

La característica importante de este conjunto es que satisface todos los elementos posibles no están contenidos en él, es decir
.
Por otro lado, si todos loselementos de un conjunto A satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición , con la indeterminada , usamos la notación por comprensión, y se puede definir:

Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x, que cumplen la propiedad p(x)". El símbolo ":" se lee "que cumplen la propiedad" o "tales que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra .

Por ejemplo,el conjunto puede definirse por:

donde el símbolo representa al conjunto de los números naturales.
El uso de algún conjunto es muy importante, ya que de no hacerlo se podría caer en contradicciones como ejemplo:


Es decir, es el conjunto donde cada elemento satisface la propiedad . Al principio uno podría creer que ningún conjunto puede estar contenido en sí mismo y que por lo tanto no contieneelemento alguno; sin embargo, en vista de que es un conjunto, cabe hacer la pregunta "¿?" Si la respuesta es negativa () entonces cumple la propiedad y por lo tanto . Si por el contrario la respuesta es afirmativa (), entonces no cumple con la propiedad y por esta razón . Esta paradoja es muy famosa y se conoce como la paradoja del barbero esta es una de las tantas incongruencias que tenía lateoría de Cantor.

Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos

Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos:

Subconjuntos y Superconjuntos


Diagrama de Venn que muestra
Un conjunto se dice que essubconjunto de otro , si cada elemento de es también elemento de , es decir, cuando se verifique:
,
sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe .
Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si , se cumpla . Si tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto , pero si todo elemento de es elemento de , entonces decimos que es un subconjunto propio de , loque se representa por . En otras palabras, si y sólo si , y . Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto A es subconjunto impropio de sí mismo.
Si es un subconjunto de , decimos también que es un superconjunto de , lo que se escribe . Así pues
,
y también que:
,
significando que es superconjunto propio de .
Por el principio de...