Teoria De Conjuntos

1. Teoría de Conjunto>Términos Básicos.

*Conjunto:

Un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {Rojo, Naranja,Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,...}.
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirsecomo una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}.
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}.

*Determinación de un conjunto:

Hay dos formasde determinar un conjunto, por extensión y por comprensión.

Por extensión.
Es aquella forma mediante el cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplos:
A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.

A = {6; 8; 10; 12; 14; 16; 18}
}
B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10.

B= {-9;-7;-5;-3;-1}
Por Comprensión.
Esaquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.
Ejemplos:
P= {los números dígitos}
Se puede entender que el conjunto P está formado por los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9.
Otra forma de escribir es: P = {X / X = digito}
Se lee “P es el conjunto formado por los elementos X tal que X es un digito”

*Operaciones con conjunto:Unión: dado dos o más conjuntos, se define la unión de conjuntos, como el conjunto formado por los elementos de todos los conjuntos.
Ejemplos:
Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j} . La unión de A y B es {a, b, c, d, e, f, h, j}.
La unión tiene las siguientes propiedades:
Conmutativa: A unión B = B unión A.
Asociativa: (A unión B) unión C = A unión (B unión C).Distributiva: A unión (B intersección C) = (A unión B) intersección (A unión C).
Absorción: A unión (A intersección B) = A.
Idempotencia: A unión A = A.
Elemento neutro: A unión conjunto vacío = A.
Dominación: U unión A = U.
Inversa: A unión A = U.
Inversa de Morgan: (A unión B) ' = A ' intersección B‘

Intersección: Dados dos o más conjuntos, se define la intersección de conjuntos,como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a todos los conjuntos.
Ejemplos:
Sean los conjuntos A = { a, b, c, d, e, f } B = { a, h, j } . La intersección de A y B es {A}
La intersección tiene las siguientes propiedades:
Conmutativa: A intersección B = B intersección A.
Asociativa: (A intersección B) intersección C = A intersección (B intersección C).
Distributiva: Aintersección (B unión C) = (A intersección B) unión (A intersección C).
Absorción: A intersección (A unión B) = A.
Idempotencia: A intersección A = A.
Elemento neutro: A intersección conjunto vacío = A.
Dominación: conjunto vacío intersección A = U
Inversa: A intersección A = U.
Inversa de Morgan: (A intersección B) ' = A 'unión B ‘

Diferencia: Dados dos conjuntos A y B, su diferencia, A -B, es los elementos de A que no pertenecen a B. 
Ejemplos:
Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, f} y B = {a, h, j} . La diferencia A – B es {b, c, d, e, f}. La diferencia B – A es {h, j}

Diferencia simétrica: Dados dos conjuntos A y B su diferencia simétrica es la unión de la diferencia A - B y B - A.
En el ejemplo anterior la diferencia simétrica es {b, c, d,...