Teoria De Conjuntos

TEORÍA DE CONJUNTOS
Introducción
Intuitivamente, un conjunto es una lista o colección bien definida de objetos, que designaremos con letras mayúsculas A, B, X, Y,... Los elementos que componen el conjunto se llaman sus elementos o miembros y los designaremos por letras minúsculas (a menos que dichos elementos sean, a su vez, conjuntos).
La proposición “aA” se lee “a pertenecer a A”, o bien,“el elemento a pertenecer al conjunto A”. Su negación es “aA”.
Si el conjunto A está formado por los elementos a, b y c, escribiremos:
A = {a, b, c} y su diagrama de Venn correspondiente será
A a b c
Determinación de conjuntos
Por extensión: cuando se nombran o enumeran todos los elementos que constituyen al conjunto. Ejem:
A = {1, 3, 7, 10} B = {a, e, i, o, u} C = {Venezuela, Brasil}
Porcomprensión: cuando se da la propiedad que caracteriza los elementos del conjunto. Ejem:
A = {xR / x es solución de x2 3x + 2 = 0}
B = {xN / x 5} C = {xN / x es par}
Conjuntos Especiales
Conjuntos Numéricos:
N = {0, 1, 2, 3,...} Conjunto de los números naturales
Z Conjunto de los números enteros
Q Conjunto de los números racionales
I Conjunto de los números irracionales
RConjunto de los números reales
C Conjunto de los números complejos
Z+, Q+, I+, R+ Conjunto de los números (enteros, racionales, irracionales, reales) positivos.
Z, Q, I, RConjunto de los números (enteros, racionales, irracionales, reales) negativos.
N*, Z*, Q*, R*, C* Conjunto de los números (naturales, enteros, racionales, reales, complejos) sin el cero.
Conjunto Universal: Depende de loque se estudie en el momento, es fijado de antemano y está formado por todos los elementos que intervienen en el tema deinterés. Se denotará como U.
Conjunto Vacío: Es aquel que carece de elementos. Se denotará por .
Conjunto Unitario: Formado por un único elemento. Ejem: A = {5}
Conjuntos Finitos y Conjuntos Infinitos: Intuitivamente, un conjunto finito consta
de un cierto número deelementos, es decir, que el conteo de elementos puede
“acabar”, de lo contrario, el conjunto será infinito.
Cardinal de un conjunto finito
Es el número de elementos que posee el conjunto. Si A es un conjunto finito con n
elementos, escribiremos card(A) = A= n.
Inclusión de Conjuntos
Sean A y B dos conjuntos. Si todo elemento de A pertenece a B diremos que A está
incluido en B o que A es unsubconjunto de B y escribiremos AB. Simbólicamente,
tendremos que:
AB (x : xA xB)
Igualdad de Conjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales si contienen los mismos elementos y escribiremos
A=B. Simbólicamente, tendremos que:
A=B (x : xA xB)
AB BA
Inclusión propia
A es un subconjunto propio de B si y sólo si AB y AB. En este caso, escribiremos
AB.
Propiedades de laInclusión
1. Para todo conjunto A se cumple que AA. (Reflexividad)
2. Si AB y BA, entonces A=B. (Antisimetría)
3. Si AB y BC entonces AC. (Transitividad)
4. A, para todo conjunto A.
Operaciones con Conjuntos
Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A o a B. Simbólicamente:
AB = {xU / xA xB}
xAB xA xBIntersección: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen a A y a B. Simbólicamente:
AB = {xU / xA xB}
xAB xA xB
Diferencia: La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B. Simbólicamente:
AB = {xU / xA xB}
xAB xA xB
Diferencia Simétrica: Ladiferencia simétrica de dos conjuntos A y B es la unión de
los conjuntos AB y BA. Simbólicamente:
AB = (AB)(BA)
Complemento de un Conjunto
Sea AU, el complemento de A, que denotaremos por AC, es el conjunto formado por
los elementos de U que no pertenecen a A.
Propiedades de las Operaciones con Conjuntos
1. (AC)C = A
2. AB BCAC
3. AA = A ; AA = A
4. AB = BA ; AB =...