TEORIA DE CONJUNTOS
Páginas: 6 (1293 palabras)
Publicado: 1 de septiembre de 2015
“TEORIA DE LOS CONJUNTOS”
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática. Sin embargo, la teoría de los conjuntos es losuficientemente rica como para construer el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de aquélla. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto deestudio per se, no sólo como herramienta auxiliar. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en lalógica.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó ainvestigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios delsiglo XX.
Teoría básica deconjuntos
La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números opolígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenecen al conjunto, y esta noción depertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Lospropios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
Ejemplos:
Los conjuntos numéricos usuales enmatemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de losnúmeros reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:
El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E3. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntosde E3, r ⊆ E3 y α ⊆ E3.
¿Que es un conjunto?. Es una coleccion de elmentos considerada en si misma como un objeto. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, letras figuras, etc.. se dice que un elemento pertenece al conjunto si esta definido como incluido de algun modo dentro de el.
¿que es un subconjunto?. Es un conjunto que contiene alguno de los elementos de un conjunto,por ejemplo: cuando A es un subconjunto de B, se denota como A> tambien puede escribirse B
“DIAGRAMAS DE VENN”
Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemática, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estosdiagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.
Con los diagramas de Venn es posible representar las relaciones de intersección, inclusión y disyunción sin cambiar la posición relativa de los conjuntos
Intersección
Dado que los conjuntos pueden tener...
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática. Sin embargo, la teoría de los conjuntos es losuficientemente rica como para construer el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de aquélla. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto deestudio per se, no sólo como herramienta auxiliar. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en lalógica.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó ainvestigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios delsiglo XX.
Teoría básica deconjuntos
La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números opolígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenecen al conjunto, y esta noción depertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Lospropios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
Ejemplos:
Los conjuntos numéricos usuales enmatemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de losnúmeros reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:
El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E3. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntosde E3, r ⊆ E3 y α ⊆ E3.
¿Que es un conjunto?. Es una coleccion de elmentos considerada en si misma como un objeto. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, letras figuras, etc.. se dice que un elemento pertenece al conjunto si esta definido como incluido de algun modo dentro de el.
¿que es un subconjunto?. Es un conjunto que contiene alguno de los elementos de un conjunto,por ejemplo: cuando A es un subconjunto de B, se denota como A> tambien puede escribirse B
“DIAGRAMAS DE VENN”
Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemática, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estosdiagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.
Con los diagramas de Venn es posible representar las relaciones de intersección, inclusión y disyunción sin cambiar la posición relativa de los conjuntos
Intersección
Dado que los conjuntos pueden tener...
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