Teoria De Control

Practicas de Control Digital usando Matlab
Conversión con c2dm
Existe una función en Matlab, denominada c2dm, que convierte un sistema continuo
dado (ya en la forma función de transferencia o en la forma espacio de estado) al
sistema discreto usando la operación de retención de orden cero explicada arriba. El
comando básico para este comando c2dm es alguno de los siguientes.
[numDz,denDz] =c2dm (num,den,Ts,'zoh')
[F,G,H,J] = c2dm (A,B,C,D,Ts,'zoh')

El tiempo de muestreo (Ts en seg/muestra) debería ser menor que 1/(30*BW), donde
BW es el ancho de banda a lazo cerrado .

1. Función de Transferencia
suponga que tiene la siguiente función de transferencia continua

•
•
•
•

M = 1 kg
b = 10 N.s/m
k = 20 N/m
F(s) = 1

Asumiendo que el ancho de banda a lazo cerrado esmayor que 1 rad/seg., elegiremos el
tiempo de muestreo (Ts) igual a 1/100 seg. Ahora, cree un archivo-m nuevo e ingrese
los siguientes comandos.
M=1;
b=10;
k=20;
num=[1];
den=[M b k];
Ts=1/100;
[numDz,denDz]=c2dm(num,den,Ts,'zoh')

Luego de correr este archivo-m en la ventana de comandos le debería dar las siguientes
matrices numDz y denDz.
numDz =

1.0e-04 *
0

0.4837

0.4678denDz =
1.0000 -1.9029

0.9048

De estas matrices, la función de transferencia discreta puede escribirse como

Nota: Las matrices numerador y denominador estarán representadas en potencias
descendentes de z. Para más información sobre representación, refiérase por favor a
Representación Matlab.

Ahora tiene la función de transferencia en la forma discreta.

2. Espacio de Estadosuponga que tiene el siguiente modelo en espacio de estado continuo

Todas las constantes son las mismas que anteriormente
El siguiente archivo-m convierte el espacio de estado continuo a espacio de estado
discreto de arriba.
M=1;
b=10;
k=20;

A=[0
-k/M

B=[ 0;
1/M];
C=[1 0];
D=[0];

1;
-b/M];

Ts=1/100;
[F,G,H,J] = c2dm (A,B,C,D,Ts,'zoh')

Cree un nuevo archivo-m y copieaquellos comandos. Corriendo este archivo-m, la
ventana de comandos del Matlab le debería dar las siguiente matrices.
F=
0.9990
-0.1903

0.0095
0.9039

G=
0.0000
0.0095

H=
1

0

J=
0

De estas matrices, el espacio de estado discreto puede escribirse como

Ahora tiene el modelo en espacio de estado de tiempo discreto.

Nota: Para más información sobre el espacio de estadodiscreto , refiérase a Espacio de
Estado Discreto .

Estabilidad y Respuesta Transitoria
Para sistemas continuos, sabemos que ciertos comportamientos resultan de la diferente
ubicación de los polos en el plano s . Por ejemplo, un sistema es inestable cuando
cualquier polo se ubica a la derecha del eje imaginario. Para sistemas discretos ,
podemos analizar los comportamientos del sistema paradiferentes ubicaciones de los
polos en el plano z . Las características en el plano z pueden relacionarse con las del
plano s por la expresión

•
•
•

T = tiempo de muestreo (seg/muestra)
s = Lugar en el plano s
z = Lugar en el plano z

La figura de abajo muestra el mapeo de líneas de coeficiente de amortiguamiento
constante (zeta) y la frecuencia natural (Wn) del plano s al plano zmediante la
expresión de abajo.

Si se dio cuenta en el plano z , el límite de estabilidad ya no es el eje imaginario, sino el
círculo unitario |z|=1. El sistema es estable cuando todos los polos se ubican dentro del
círculo unitario e inestable cuando cualquier polo se ubica afuera de él.
Para analizar la respuesta transitoria de ubicaciones de polo en el plano z , todavía
puede aplicarselas siguientes tres ecuaciones usadas en diseños de sistemas continuos .

donde
•

zeta = coeficiente de amortiguamiento

•
•
•
•

Wn = Frecuencia natural (rad/seg.)
Ts = Tiempo de establecimiento
Tr = Tiempo de Subida
Mp = Máximo sobrepico

Importante: La frecuencia natural (Wn) en el plano z posee las unidades de
rad/muestra, pero cuando usa las ecuaciones que aparecen...