Teoria De Cross

MÉTODO DE HARDY
CROSS

Análisis Estructural I
1

Cuestiones Preliminares
1.

Viga con empotramiento perfecto en
un extremo y con empotramiento
elástico al giro en el otro extremo.
θj

Mij
i

L, E, I

Sabemos que:

Mji

j

4 EI
j
L
2 EI
M ij 
j
L
M ji 

2



El Factor de Transporte o coeficiente
de transmisión de momentos (βij), se
define como la relación entre el
momento en el extremo quepermanece empotrado y el momento
en el extremo que gira.

M ij

1
 ij 

M ji 2
3



La Rigidez Angular de esta barra
(Kji) es el momento que hay que
aplicar en el extremo elástico al giro
para producir ahí un giro unitario.

4 EI
 j 1
M ji 
L
si θj = 1 , entonces

4 EI
K ji  K ij 
L
4







Por lo tanto, sólo depende de las
características elasto-geométricas de la
barra.
Larigidez es una sola para la barra, el
momento en el extremo que gira y en el
que
permanece
empotrado
son
distintos,
debido
a
que
el
empotramiento gira la mitad.
Nota: observar que:
MOMENTO = RIGIDEZ x GIRO
5

2.

Viga articulada en un extremo y con
empotramiento elástico al giro en el
otro extremo.
θj

0
i

L, E, I

Sabemos que:

Mji

j

M ji

3EI

j
L
6





El Factor de Transporte (βij) de estabarra será nulo.
La Rigidez Angular (Kij) de esta barra
será:
3EI

K ji  K ij 



L

Si comparamos las rigideces angulares de
una barra e-e y otra a-e, concluimos que:

K (a e)

3
 K ( e  e ) 75% K ( e  e )
4
7

Estructuras con nudos que giran pero que
no experimentan desplazamiento (EA = ∞,
GA = ∞, EI = constante)
2

Todas
las
barras
que
concurren en el nudo “i” giran
un mismo ángulo(hipótesis
de la indeformabilidad del
nudo).

θi
θi

3

1

θi
θi

Supongamos que se restringe
el giro en el nudo i
(considerando una ligadura al
giro), de esta forma se puede
idealizar el nudo i como si
estuviera empotrado.

4

8

2
2

Ligadura
al giro

M0i2

M0i1
1

M0i3

3
i

3

1

M0i4

4

4

9

Equilibrio del nudo i:
Moi1
Moi3

M

Moi2

o

i1

M

o

i2

M

o

i3

i4

 M

o

j1

j 1

Moi4Si:

M

o

4

4

o
M
 j1 0

 Hay Equilibrio

j 1

4

M

o

j1

0

 Hay un momento descompensado.

j 1

10





¿Cómo compensarlo?
Con un momento del mismo valor pero
con sentido contrario al que
denominaremos Momento de
Compensación.
¿Cómo distribuir este momento en las
barras que concurren en el nudo i?
De acuerdo a la rigidez angular de
cada barra.
11





Recordemos que:
Momento= Rigidez x Giro
Sean: mi1, mi2, mi3, mi4 los momentos
en el extremo común de las barras que
concurren en el nudo “i”, tales que todas
ellas en el extremo “i” experimenten un
giro θi.

12

mi1  K i1 i
mi 2  K i 2 i

(A)

mi 3  K i 3 i
mi 4  K i 4 i
4

Sea M =

m

ij

j 1

4

 i  K ij



j 1

Donde M = Momento de compensación

 i 

M
4

K

ij

j 1

13



En las ecuaciones(A):
 M
mi1  K i1 i  mi1  K i1 
K
ij







 M 

mi 2  K i 2 i  mi 2  K i 2 
K 
ij 

 M 

mi 3  K i 3 i  mi 3  K i 3 
K 
ij 

 M
mi 4  K i 4 i  mi 4  K i 4 
K
ij






14



Pasemos a definir los coeficientes de
distribución de momentos:
C i1 

K i1
K
K
K
; Ci 2  i 2 ; Ci 3  i3 ; Ci 4  i 4
 K ij
 K ij
 K ij
 K ij

Por lo tanto:

mi1 C i1M
mi 2 C i 2 M

La suma de los coeficientes
de distribución en un nudo
es la unidad.

mi 3 C i 3 M
mi 4 C i 4 M
4

:  m
j 1

4

ij

 M  C ij
j 1

4



C

ij

1

j 1

15

Ejemplo 1:
3600 Kg/m

800 Kg
2400 Kg/m
1.5m
1

2I
4m

2

3I
3m

3

4I

4

6m

Calcular los momentos en los extremos empotrados y
presentar el DMF de la viga.

16

3600 Kg/m

800 Kg

= Ligadura al giro

2400 Kg/m1.5m
1

2

2I

3

3I

4m

4I

3m

6m

w = 2400 Kg/m

M012

1

M
2

4m

4

M021

0

21

M 012

8000 Kg

WL2
2400(4) 2


3200
12
12
 3200
PL
8000(3)

 3000
8
8
3000

M 0 23 
1.5 m
2

M023

1.5 m
3

M032

M 0 32

17

3600 Kg/m

M

Mo34

0

34

Mo43
3

4

M 0 43

6m

wL2
3600(6) 2


 4320
30
30
wL2
3600(6) 2


6480
20
20
3600 Kg/m

800 Kg
2400 Kg/m
1.5m
1

2

2I
4m

3

3I...