Teoria de decisiones

Cap´ ıtulo 5 Utilidad y P´rdida e
5.1. Teor´ de utilidad ıa

La noci´n de utilidad proviene de asignar valor matem´tico o num´rico a la idea de valor o a e que las personas perciben respecto de algo. Este n´mero es la utilidad, y la teor´ de la utilidad u ıa busca hacerse con ese n´mero. Una forma de obtener las funciones de utilidad, es mediante las u preferencias que los individuos revelanal hacer elecciones. Es decir, que seg´n vayan haciendo u elecciones sobre diferentes acciones, ´stas nos dar´n la idea de c´mo va a ser su funci´n de e a o o utilidad. Cada acci´n tiene consecuencia y, de ella surgen pagos, r. Sea, entonces, R el conjunto de o todos los pagos vinculados a las consecuencias. Cu´l de las consecuencias se realizar´, seg´n a a u una acci´n determinada, depender´ deuna funci´n de probabilidad P ∈ P, donde P representa o a o el espacio de todas las posibles funciones de probabilidad. Combinar los posibles pagos, seg´n la distribuci´n de probabilidad, con un valor asignado u o por las preferencias de la utilidad, se hace usando la funci´n de utilidad y el valor esperado de o la utilidad. En resumen, lo que busca la teor´ de la utilidad es encontrar una funci´n,que refleje la ıa o preferencias de la persona en cuesti´n, tal que si se tiene un pago r1 ∈ R con funci´n de o o probabilidad P1 ∈ P y otro pago r2 ∈ R con funci´n de probabilidad P2 ∈ P, P1 o preferido a P1 ) si y s´lo si o EP1 [U (r)] < EP2 [U (r)]. 8 P2 (P2 es

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Definici´n 5.1.1 Si P1 , P2 ∈ P, entonces P1 o
que P1 no es preferido a P2 .P2 significa que P2 es preferido a P1 . P2 significa

P1 ≈ P2 significa que p1 es equivalente a P2 o que son igualmente preferidos. P1

5.2.

Construcci´n de la funci´n de utilidad o o

La funci´n de utilidad no necesariamente tiene que existir, sin embargo, daremos algunos o axiomas para garantiza su existencia. Antes de ello, vamos a explicar un procedimiento para llegar a una funci´n deutilidad. Este procedimiento est´ basado en la mixtura de distribuciones o a de probabilidad de la forma P = αP1 + (1 − α)P2 , donde 0 ≤ α ≤ 1. Note, en particular, que P = αP1 +(1−α)P2 es la distribuci´n de probabilidad que da probabilidad α a r1 y probabilidad o (1 − α) a r2 . Paso 1: elegir 2 pagos, preferentemente bien distanciados en t´rminos de preferencias, r1 y r2 . e Supongamos que r1 r2 ,entonces definimos U (r1 ) = 0 y U (r2 ) = 1, si los pagos son los valores extremos, entonces estamos definiendo el rango completo donde se mover´ la funci´n de utilidad. Los siguientes pasos son la comparaci´n de los valores a o o r1 y r2 con un nuevo valor r y asignar un valor a la utilidad comparando con U (r1 ) = 0 y U (r2 ) = 1. Paso 2: Para un pago r3 tal que r1 r3 r2 , encontrar 0 ≤ α ≤ 1 talque

r3 ∼ P3 = αP1 + (1 − α)P2 . Luego se define U (r3 ) = EP3 [U (r)] = αU (r1 ) + (1 − α)U (r2 ), en este caso tenemos U (r3 ) = 1 − α. La idea es buscar un pago para el cual el tomador de decisi´n le sea indiferente elegir o el pago seguro o jugar el juego donde puede ganar m´s con probabilidad α o perder a con probabilidad (1 − α). Paso 3: Para un pago r4 tal que r4 r1 r2 , encontrar 0 ≤ α ≤1 tal que

r1 ∼ P1 = αP4 + (1 − α)P2 . Prof. A. Rodriguez Teor´ de decisi´n ıa o

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Luego, sabemos que 0 = U (r1 ) = EP1 = αU (r4 ) + (1 − α)U (r2 ) = αU (r4 ) + (1 − α), U (r3 ) = − Paso 4: Para un pago r5 tal que r1 r2 1−α < 0. α

r5 , encontrar 0 ≤ α ≤ 1 tal que

r2 ∼ P2 = αP1 + (1 − α)P5 . Luego, sabemos que 1 = U (r2 ) = EP2 = αU(r1 ) + (1 − α)U (r5 ) = (1 − α)U (r5 ), U (r5 ) = 1 > 1. 1−α

Paso 5: Peri´dicamente chequear la consistencia de los resultados mediante la comparaci´n o o de los nuevos pagos y sus utilidades. Por ejemplo, suponga que se han encontrado los pagos r3 , r4 y r5 tales que r3 r4 r5 , Entonces, encontrar un 0 ≤ α ≤ 1 tal que

r4 ∼ P = αP3 + (1 − α)P5 , de lo cual se debe cumplir que U (r4 ) = αU...