teoria de errores

INTRODUCCIÓN  A  LOS  MÉTODOS  NUMÉRICOS
   Una pregunta muy natural que surge al introducirse en el estudio de los métodos numéricos, es la siguiente:
Por que sucedio todo esto?
Para introducir la forma de trabajar con métodos numéricos en la solución de problemas, veremos el siguiente:
PROBLEMA.
Calcular la velocidad instantánea de un cuerpo en caída libre cerca de la superficieterrestre, suponiendo que la velocidad inicial del cuerpo es igual a 0 y que las únicas fuerzas que actúan sobre el cuerpo son la fuerza de gravedad y la fuerza de resistencia del aire, la cual suponemos que es linealmente proporcional a la velocidad del cuerpo.
Solución Analítica.
Usamos la segunda ley de Newton, que establece: 
                                                     F = m a
La cualpodemos escribir en la forma:
                                         
Las hipótesis sobre las fuerzas que actúan sobre el cuerpo nos indican que:
                                         
donde (g-constante de gravedad) es la fuerza de gravedad y (c-coeficiente de arrastre) es la fuerza de resistencia del aire.
Sustituyendo esto último obtenemos:
                                    Equivalentemente:
                                        
Que es nuestro modelo matemático del problema. En este caso identificamos nuestro modelo como una ecuación diferencial de primer orden de variables separables.
Procedemos a separar las variables:
                                  
Integramos ambos miembros de la ecuación:
                                    
De lo cual obtenemos:                           ,       (k-cte de integración)
Para calcular la constante de integración, usamos la hipótesis de que la velocidad inicial del cuerpo es 0. Esto es, si . Sustituyendo estos valores en la ecuación de arriba, obtenemos:
                               
Con lo cual obtenemos:
                       
 
Finalmente, despejamos en función de :
                          
Lacual resuelve el problema de forma exacta.
Para fijar un ejemplo particular, supongamos que tenemos los siguientes datos:
                                   
Calculemos los valores .
Lo único que tenemos que hacer es sustituir los valores de m, c y g:
                           
                       
Finalmente sustituímos los valores del tiempo desde hasta y escribimos los resultados enla siguiente tabla:
t (s)
v (cm/s)
0
0
1
854.7569
2
1500.76828
3
1989.01317
4
2358.02072
5
2636.91063
 Esta tabla de valores, representa los valores exactos de las velocidades indicadas que se han obtenido por un método analítico.
A continuación veremos como podemos aproximar estos datos usando un método numérico.
 Solución Numérica.
Primero que nada, recordemos que el modelomatemático del problema esta dado por:
                                              
Para usar un método numérico, recordemos cómo se define la derivada de una función:
Tenemos:
                                        
Cuando es cercano a , podemos quitar el límite y obtener la siguiente aproximación :                                          
Lo cual, al sustituirlo en nuestro modelomatemático nos da:
                               
De aquí podemos despejar y obtener lo siguiente:
                                          
Esta última fórmula, la cual es una fórmula recursiva, nos permite calcular la velocidad si conocemos la velocidad en el tiempo anterior . Nuestro punto de partida es que la velocidad inicial es 0, es decir, , y de aquí podemos calcular, con la ayuda denuestra fórmula recursiva, la velocidad en tiempos subsecuentes. Evidentemente éstos cálculos son aproximaciones, y entre más cercanos sean los tiempos, mejores serán dichas aproximaciones.
Por ejemplo, retomando los datos que fijamos arriba, tenemos la fórmula:
                       
                      
Como dijimos arriba, comenzamos con . Para aproximar , tenemos dos opciones:...