Teoria De Funciones UNAM

Teoría de funciones

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
TEORÍA DE FUNCIONES
Las magnitudes que caracterizan un fenómeno dado pueden quedar completamente determinadas por
los valores de otras. Estas interdependencias fueron las que dieron origen al concepto de función porque
gran parte de los fenómenos que se observan en lanaturaleza se pueden relacionar unos con otros a
través de correspondencias.

CONCEPTOS BÁSICOS DE FUNCIONES
Una función se refiere a una asignación o correspondencia de un conjunto a otro. Su definición formal es
la siguiente:
Una función es una terna constituida por:
1. Un conjunto A llamado dominio de la función
2. Un conjunto B llamado codominio de la función
3. Una regla de correspondencia queposee tres características
a) A todo elemento del dominio se le puede asociar un elemento del codominio
b) Ningún elemento del dominio puede quedarse sin un asociado en el codominio
c) Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el codominio.
Se denota como: f : A → B

Rango

A

*

*

*

*

*

*
B

*

*

Dominio

Codominio

El dominio, denotado por D f , de una función es elconjunto de valores que puede tomar la variable
independiente, es decir, son todos aquellos números para los cuales la función tiene sentido (también se
conoce como campo de variación).
Al elemento que se obtiene en el codominio después de aplicar la regla de correspondencia a un
elemento del dominio recibe el nombre de imagen. Al conjunto de todas las imágenes se le conoce como
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rango , denotadopor R f .

1

Al rango también se le conoce como recorrido.

1

Teoría de funciones

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Ejemplo.
Sea un conjunto de siete muchachos y otro conjunto sus edades respectivas en años:
NOMBRE
Alberto
Clarissa
Diana
Ernesto
Fabiola
Karen
Manuel

EDAD
17
16
19
17
16
19
15

La tabla muestra que a cada muchacho lecorresponde una edad y cumple con las condiciones de función, por lo
que su dominio es: { Alberto, Clarissa, Diana, Ernesto, Fabiola, Karen, Manuel } y el rango es { 15,16,17,19 }.

x como un elemento en el dominio de la función, entonces el elemento en el recorrido que f
asocia con x , es la imagen de x bajo la función f . Esto es: f (Manuel) = 15, f (Clarissa) = f (Fabiola) = 16,
f (Alberto) = f(Ernesto) = 17 y f (Diana) = f (Karen) = 19.
Si se denota a

En términos de variables, una función también se puede definir de la siguiente forma:
Se dice que una variable y es función de otra x , cuando ambas están relacionadas de forma que para
cada valor de x perteneciente a su campo de variación, le corresponde sólo uno de y . La variable y
recibe el nombre de variable dependiente, mientras que x esla variable independiente.
Lo anterior puede expresarse simbólicamente de la siguiente forma:

y = f (x )

Esta manera de representar una función es especialmente útil, pues se puede saber con certeza el valor
que toma la variable dependiente para cualquier valor que tome la variable independiente. Esto posibilita
la construcción de una tabla de valores de la misma y su respectiva gráfica, debido aque cada pareja de
valores x, y de la tabla que se calcule representa un punto del plano cartesiano.

(

)

Por tanto, una función puede ser presentada de múltiples maneras: una expresión matemática del tipo
y = f x , una tabla de valores, una gráfica o incluso una frase que exprese la relación entre ambas variables2.

( )

Para encontrar el dominio y el rango de una función es necesario efectuaruna inspección particular que
analice su comportamiento, para lo cual se recomienda: para el dominio, que esté despejada la variable
dependiente y para el rango que lo esté la variable independiente. A partir de esas expresiones, se efectúa
un análisis que consiste básicamente en determinar los valores reales de la variable no despejada que
hacen reales los valores de la variable despejada,...