teoria de funciones

Nociones básicas de funciones
Definición: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, una función de
A en B es una correspondencia que a cada elemento de A le asigna
un único elemento de B.
Se nota f : A  B
→
B

A
f
a

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f(a)=b

1

Donde A es el Dominio de la función, y B es Codominio.

Si a ∈ A , f (a) = b ∈ B es el elemento del conjunto B que le
corresponde.La Imagen de una función se define como:

Im f = {y ∈ B / existe x ∈ A , y = f ( x)}

Im f ⊆ B

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2

Una función f : A ⊆ R  R se representa gráficamente en un
→
sistema de ejes cartesianos. En el eje x o eje de abscisas, se
representan los valores del dominio y en el eje y o eje de
ordenadas los valores de la imagen de la función.
Notación: una función suele notarsecomo y = f (x)
Observación: No toda correspondencia entre dos conjuntos es una
función.

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3

Es función

No es función
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4

Función lineal
f : R  R definida como f ( x) = mx + b m, b ∈ R
→

es una función lineal.
Domf =R
Imf =R
El gráfico de una función lineal es una recta, donde m es la
pendiente y b es la ordenada al origen.Matemática-2013

5

Ejemplos:
1) f : R  R f ( x) = 2 x + 3
→

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6

2) f : R  R f ( x) = −3x + 5
→

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7

3) f : R  R
→

f ( x) = 8

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8

En general:
m >0

m 0

a 0
si a < 0
19

Ejemplo:
f : R  R f ( x) = x 2 + 3 x + 2
→

−3
3
xv =
=−
2.1
2
3 2 − 4 .1 .2 1
yv =
=
4 .1
4

El eje de simetría es x = −3
2

1
Imf = R ≥
4
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Forma canónica de la función cuadrática
f ( x) = a( x − xv ) 2 + y v

Ejemplo:
La función f ( x) = x 2 + 3 x + 2

se expresa en forma canónica

2

3
1

como f ( x) =  x +  +
2
4


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Raíces de una función cuadrática
Para hallar las raíces de una función cuadrática f ( x) = ax 2 + bx + c
seresuelve la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0.
Las raíces se obtienen mediante la fórmula:

x1,2

− b ± b 2 − 4a.c
=
2.a

La expresión ∆ = b 2 − 4a.c se llama discriminante.

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• Si ∆ > 0 la función tiene dos raíces reales distintas x1 y x2 . El
gráfico de la función corta dos veces al eje x y la forma
factorizada es f ( x) = a( x − x1 )( x − x2 )
• Si ∆ = 0 lafunción tiene una raíz real doble x1. El gráfico de
la función “corta” una vez al eje x y la forma factorizada es

f ( x) = a( x − x1 ) 2
• Si ∆ < 0 la función no tiene raíces reales. El gráfico de la
función no corta al eje x. No se puede escribir la función en
forma factorizada.
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Ejemplos:
1)

2 x 2 − 3x + 1 = 0
 x1 = 2
3 ± (−3) − 4.2.1 3 ± 1 3 ± 1 
=
=
=⇒
1
2.2
4
4
 x2 = 2

2

x1,2

Podemos

expresar

a

la

función

en

forma

factorizada

1
f ( x) = 2( x − 2)( x − )
2

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24

Observación: A partir del gráfico podemos observar que el xv es el
punto medio de la dos raíces. Compruébelo analíticamente

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25

2
2) x + 2 x + 1 = 0

x1,2

− 2 ± 2 2 − 4.1.1 − 2 ± 0 − 2 ±0  x1 = −1
=
=
=
⇒
2.1
2
2
 x2 = −1

Podemos expresar a la función en forma factorizada f ( x) = ( x + 1) 2

Observación: A partir del gráfico podemos observar que el xv
coincide con la única raíz real. Compruébelo analíticamente.
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2
3) x + 2 x + 2 = 0

x1, 2

− 2 ± 2 2 − 4.1.2 − 2 ± − 4
=
=
2.1
2

En el conjunto de números reales no tienesolución, decimos
entonces que no existen raíces reales.

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27

Nota: Si ∆ < 0 la función tiene 2 raíces complejas conjugadas
x1, 2

− b ± − (b 2 − 4a.c) i
=
2.a

Continuando con el ejemplo anterior:

x1, 2

− 2 ± 2 2 − 4.1.2 − 2 ± − 4 − 2 ± 2i
2 2
=
=
=
=− ± i
2.1
2
2
2 2

donde i es la unidad imaginaria

 x1 = −1 + i
Entonces las raíces complejas...