Teoria de Funciones

Funciones y gráficas
Antes de empezar

El lenguaje de las gráficas

(x,y)

De las distintas formas en que puede presentarse una función, mediante un enunciado, una
tabla, una expresión algebraica o una gráfica, esta última es la que nos permite ver de un
sólo vistazo su comportamiento global, de ahí su importancia. En este tema aprenderás a
reconocer e interpretar sus característicasprincipales.

Investiga

90º

Imagina que montas en una noria cuyo radio
mide 30 m y para subir hay que ascender 5 m
desde el suelo. La noria comienza a girar,
¿cómo es la gráfica de la función que da la
altura a la que te encuentras según el ángulo
de giro?. Tú vas en la cabina naranja y unos
amigos en la verde, ¿cómo será su gráfica?

MATEMÁTICAS B

131

Funciones y gráficas
1.Funciones reales
Concepto de función
Una función es una correspondencia entre dos
conjuntos numéricos, de tal forma que a cada
elemento del conjunto inicial le corresponde un
elemento y sólo uno del conjunto final.
Se relacionan así dos variables numéricas que suelen
desisgnarse con x e y.
f: x → y=f(x)
x es la variable independiente
y es la variable dependiente
f: km recorridos →altitud en m

km

0

24

34

71

87

113

121

153

160

168

alt

540

1280

740

1290

630

1020

720

1130

1520

1882

El grafico describe el recorrido de la
9ª Etapa de la Vuelta Ciclista 2007,
indicando los km totales y la altitud
en
los puntos principales del
trayecto.
A la izquierda aparece la gráfica
anterior trazada sobre unos ejescartesianos, para simplificarla se han
unido
los
puntos
principales
mediante segmentos. Se trata de
una función que da la altitud según
los km recorridos, observa la tabla
de valores.

Gráfica de una función
Para ver el comportamiento de una función, f: x → y,
recurrimos a su representación gráfica sobre los
ejes cartesianos, en el eje de abscisas (OX) la
variable independiente y en el deordenadas (OY) la
independiente; siendo las coordenadas de cada punto
de la gráfica: (x, f(x)).
En la figura está representada la función:

f(x)= 0,5x2+3x+3,5
Haciendo una tabla de valores, se representan los
puntos obtenidos, x en el eje de abscisas (OX), f(x)
en el de ordenadas (OY).
x

-2

f(x) -4,5

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

3,5

6

7,5

87,5

6

3,5

0

-4,5

Hay unos puntos que tienen especial interés, los que
la gráfica corta a los ejes coordenados. Para
calcularlos:
Corte con el eje OY:
Los puntos del eje de ordenadas tienen abscisa
0, basta hacer x=0 en la fórmula de la función.
Cortes con el eje OX:
Los puntos del eje de abscisas tienen y=0. Se
resuelve la ecuación f(x)=0

132

MATEMÁTICAS B

Cortescon los ejes
EJE OY: f(0)=3,5

Punto (0, 3,5)

EJE OX: Resolviendo la ecuación:
0,5x2+3x+3,5=0
Resulta:
x=

−3± 9+7
=3±4=
− 2 ⋅ 0,5

Puntos (7, 0) (-1, 0)

7
−1

Funciones y gráficas
Dominio y recorrido
Dada una función y=f(x)
Se llama dominio de f al conjunto de valores
que toma la variable independiente, x. Se
indica como Dom f.
Dom f=[-10, 10]

Calcular Dominios
• Sila expresión analítica

de la
función es un polinomio, el dominio
son todos los números reales.

El dominio está formado, por tanto, por los
valores de x para los que existe la función, es
decir, para los que hay un f(x).
El recorrido es el conjunto de valores que
puede tomar la variable dependiente, y, esto es
el conjunto de las imágenes. Se representa
como Im f.

f(x)=-x4+4x2+1Dom f = IR
Im f = (-∞ , 5]

•

Si la expresión analítica de la
función es un cociente, el dominio
son todos los reales excepto los
que anulan el denominador.
f(x) =

2
x −1

Dom f = IR - {1}
Im f = (-∞ , 0) U (0, +∞)

•

Si la expresión analítica de la
función es una raíz cuadrada, el
dominio está formado por los
números reales para los que el
radicando es positivo o cero....