Teoria De Galois

Teor´ de Galois ıa
Mar´ Julia Redondo ıa Instituto de Matem´tica - UNS a Av. Alem 1253, Bah´ Blanca ıa
Abstract La b´squeda de f´rmulas que permitan hallar las ra´ u o ıces de los polinomios fue un problema central del ´lgebra durante siglos. Scipione del Ferro (1465a 1526), Tartaglia (1499-1557), Cardano (1501-1576) mostraron c´mo resolver o ecuaciones de tercer grado, y Ferrari (1522-1565)encontr´ un m´todo para o e calcular las ra´ ıces de la ecuaciones de cuarto grado. Galois fue el primero en investigar la estructura de los cuerpos y de los grupos, y mostr´ que existe una o fuerte conexi´n entre estas dos estructuras. Para determinar si una ecuaci´n o o algebraica se puede resolver por radicales hay que analizar la estructura del grupo de Galois asociado a dicha ecuaci´n. oEvariste Galois naci´ en Francia el 25 de octubre de 1811, y muri´ en un o o duelo el 30 de mayo de 1832. Sus ideas han dado lugar a una de las teor´ ıas m´s importantes del ´lgebra: la Teor´ de Galois. a a ıa Los objetivos de este curso son: definir el grupo de Galois de un polinomio; mostrar cu´ndo una ecuaci´n es resoluble por radicales; dar aplicaciones de a o la teor´ de Galois: construcciones conregla y comp´s. ıa a

1

La vida de Evariste Galois.

Evariste Galois naci´ en Francia el 25 de octubre de 1811. Sus padres, Nicholas o Gabriel Galois y Adelaide Marie Demante, se preocuparon por transmitirle sus conocimientos de filosof´ literatura y religi´n. Hasta los 12 a˜os de edad, Gaıa, o n lois s´lo recibi´ educaci´n de parte de su madre, quien le ense˜´ lat´ griego y o o o no ın,religi´n. El 6 de octubre de 1823 ingres´ en el Liceo Louis-le-Grand, sus calificao o ciones eran correctas, pero en 1826 tuvo que repetir de a˜o porque su trabajo en n ret´rica no era suficiente para el nivel standard. Fue en febrero de 1827 cuando o comenz´ a tomar sus primeras clases de matem´tica con M. Vernier. Sus profesores o a lo calificaban como: singular, extra˜o, original y cerrado. El informede M. Vernier n dec´ Inteligente, progresando, pero sin m´todos suficientes. ıa: e En 1828 intenta ingresar en la Escuela Polit´cnica de Paris, pero fracasa. Por e cuestiones acad´micas Galois ten´ un gran inter´s por entrar en esta escuela, pero e ıa e

1

tambi´n le interesaba el fuerte movimiento pol´ e ıtico que exist´ entre sus estudiantes. ıa Galois, siguiendo el ejemplo de sus padres,era un ardiente republicano. En abril de 1829 publica su primer trabajo sobre fracciones continuas en Annales de Math´matiques. En mayo de ese mismo a˜o presenta dos art´ e n ıculos a la Academia de Ciencias sobre la soluci´n de ecuaciones algebraicas, y Cauchy fue el referee o seleccionado para decidir sobre estos art´ ıculos. En julio de 1829 Galois sufre el suicidio de su padre, y semanasdespu´s vuelve e a fracasar en su intento de ingresar en la Escuela Polit´cnica. En diciembre de e ese mismo a˜o termina sus estudios en el Liceo Louis-le-Grand, con los siguientes n informes: En matem´tica, a Oscuro al expresar sus ideas, inteligente, interesante esp´ ıritu de investigaci´n. o En literatura, Es el unico estudiante que ha dado respuestas pobres, no sabe absolutamente nada. ´ Me hab´informado que este estudiante ten´ una capacidad extraordinaria para ıan ıa las matem´ticas. Esto me asombra pues, despu´s de haberlo examinado, creo que a e tiene muy poca inteligencia. Galois sigui´ trabajando en la teor´ de ecuaciones. Despu´s de descubrir que o ıa e sus trabajos inclu´ resultados ya demostrados por Abel, y siguiendo los consejos ıan de Cauchy, redact´ un nuevo art´ o ıculo sobrelas condiciones para que una ecuaci´n o sea resoluble por radicales. Este trabajo fue enviado en febrero de 1830 a Fourier, secretario de la Academia de Ciencias, para optar al Gran Premio de matem´tica. a Pero Fourier muri´ en abril de 1830 y el trabajo nunca fue considerado para el o premio. En diciembre de 1830 fue expulsado de la Escuela Normal por publicar en la ´ Gazette des Ecoles una...