Teoria de grafos

Teoría de Grafos

Grafo: Un grafo G=(V,A, λ ) es una estructura 3-tuple donde : V = {Conjunto de vértices o nodos} A = {Conjunto de aristas o arcos} λ =función incidencia Grafos Dirigidos: G:
a
b

Grafos no Dirigidos:

c

Función de incidencia
λ
= funcion de incidencia

λ

:A X1 X2 X3 X4 Xn

→

V*V

. .

(V1,V2) (V2,V3) (V3,V4) (V4,V5) (Vn,Vn+1)

Grafos Dirigidos: G:b

λ

a

c

Γ + = conjunto de que salen
Γ − = conjunto de aristas que entran

sale Como que entra loop G:
Nodo fuente
1 2

a Entra

b En cualquier grafo dirigido sin bucles se cumple: #arcos = n(n-1)

3

Nodo sumidero o pozo

Ejemplo:
A

X1 B X4 X2 X6 X3 X8 X10 C X7 X9 X5

D

V = { A , B ,C , D }

… nodos

A = { (A,B) , (A,C) , (A,D) , (B,A) , (B,D) , (C,A) ,(C,D) , (D,A) , (D,B) , (D,C)} …aristas ó Arcos = A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10}

λ

:

A

VxV

x1 (A,B) x2 (A,C)
. . . . . .

x10 (D,C)

λ λ

(x1)=(A,B) (x2)=(A,C)
. . . . . .

λ

(x10)=(D,C)

Grafos no Dirigidos:

G:
1 2

3

4

G’:
a b

En cualquier grafo no dirigido sin bucles donde (#nodos = n), se cumple: #arcos =

n(n - 1) 2

c

d

G:

G:VERTICES: Conjunto de Vértices Sucesores

Γ (Xi) ={Vj ∈V /(Vi,Vj)∈A}
+
Conjunto de Vértices Predecesores

Γ (Xi) ={Vj ∈V /(Vj,Vi)∈A}
−

Ejemplo:

Conjunto de Vértices Sucesores Tau(B) = {C, D} Conjunto de Vértices Predecesores Tau(B) = {C, D, E , F}

Grado o Valencia de un Vértice: Grado Interior :Número de aristas que entran

d − ( Xi) =| Γ − ( Xi) |
Grado Exterior : Número dearistas que salen

d + ( Xi) =| Γ + ( Xi) |
Grado de un Vértice:

d ( Xi ) = d + ( Xi ) + d − ( Xi )
Teorema de Euler: En todo grafo la suma de los grados de los vértices es igual a dos veces el número de aristas

∑d(Xi) = 2| A|

Ejemplo:

d + ( Xi )
d + ( X1)
=3

d − ( Xi )
d − ( X 1 ) =2 d − ( X 2 ) =4 d *− ( X 3 ) =1
d − (X 4)
=3

d ( Xi )
d ( X1)
d(X 2)
d(X3)
=5

∑d ( Xi) = 18
d * ( X i ) = loop

d + ( X 2 ) =2 d + ( X 3 ) =2

=6 =3 =4

d + ( X 4)

=1

d(X 4)

Max|d+(xi)= |V|-1. Max|d-(Xi)=|V|+1 Suma(dXi) =pares

Teorema:

∑ d ( Xi ) = 2(U )
i =1

4

18 = 2 (9 ) 18 = 18 _ cumple
Ejercicio: Dada la tabla encontrar el grafo Salen 2,3 1,3 2 entran 2 1,2,3 1,2,3

d + ( Xi )
d + (X 2)
d + ( X1)
=2 =2 =1

d − ( Xi )
d − ( X1) d −(X 2)
=2 =2 =1

d ( Xi )
d ( X1)
d(X 2 )
=4 =4

d +(X 3)

d *− ( X 3 )

d ( X 3 ) =2

Grafos Etiquetados o Ponderado: Un grafo G es etiquetado si cada vértice y aristas están asociados con cierta información. Las aristas son asignadas: pesos, costos, tiempos, longitudes. Los nodos son asignados: lugares o ciudades.

X = {ciudades} W = {costos}

Camino: Es la sucesión finita dearcos. Es una sucesión finita de vértices y aristas alternos, donde cada arista tiene por extremo los vértices adyacentes. Ejemplo:

Camino (X1, X4) =(X1,U1,X2,U3,X3,U5,X2,U4,X4)

Camino Simple: Es el conjunto de aristas que no incluyen dos veces la misma arista (que no se repite las aristas). Camino Elemental: Es el conjunto de aristas, que no incluyen el mismo vértices dos veces CE=(X1,U1,X2,U3,X3,U6,X4) Circuito: Es el camino cerrado donde el vértice inicial y final coinciden Circuito Simple: Es un camino simple cerrado Circuito Elemental: Es un camino elemental cerrado

LONGITUD DE UN CAMINO Es el numero de aristas que contiene un camino

Longitud (X1,X4) = 6

Vértices Adyacentes: Dos vértices son adyacentes si uno es el sucesor del otro

Aristas adyacentes Dos aristasson adyacentes si tienen el mismo vértice o un extremo en común

Grafo Completo Cuando cada vértice es adyacente a todos los demás vértices, En un grafo sin bucle, y sin aristas paralelas.
G:

N (aristas)= n(n-1); n: número de nodos.
G:

N(aristas)= (n(n-1))/2

Grafo Conexo: Cuando en cada par de vértices distintos, existe un camino que los une.

G:

Grafo fuertemente conexo:...