teoria de grupo

GRUPOS

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Indice general
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1. INTRODUCCION A GRUPOS.
1.1. Propiedades De Los Enteros. . . . . . . .
1.2. Z/nZ: Los enteros m´dulo n. . . . . . .
o
1.3. Axiomas B´sicos De Grupos y Ejemplos.
a
1.4. Grupo Di´drico. . . . . . . . . . . . . . .
e
1.5. Grupo Sim´trico . . . . . . . . . . . . .
e
1.6. El Grupo de Matrices. . . . . . . . . . .
1.7. El Grupo de Cuaterniones. . . .. . . . .
1.8. Homomorfismos e Isomorfismos. . . . . .

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2. SUBGRUPOS
2.1. Definiciones B´sicas yEjemplos. . . . . . . . . . . . . .
a
2.2. Centralizadores y Normalizadores. . . . . . . . . . . . .
2.3. Subgrupos Generados Por Subconjuntos De Un Grupo.
2.4. Grupos y Subgrupos C´
ıclicos. . . . . . . . . . . . . . .

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3. CLASES LATERALES Y GRUPOSCOCIENTES
3.1. Clases Laterales y El Teorema de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. El Grupo Cociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Los Teoremas De Isomorfismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. ACCION DE GRUPOS
4.1. Definiciones B´sicas y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
4.2. Teorema DeCayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. La Ecuaci´n De Clases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

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INDICE GENERAL

Introducci´n
oEste curso est´ dedicado a estudiar ciertos objetos con una estructura algebraica
a
definida por una operaci´n que tiene unas propiedades especiales. En realidad ya hemos
o
tenido alguna experiencia de estos objetos, pues desde nuestras primeras experiencias
con las matem´ticas ya realizamos sumas, por lo menos con los n´meros enteros. En
a
u
este ambiente existe el elemento neutro que esel cero, la suma es asociativa y cada
entero tiene inverso aditivo, estas son las propiedades de nuestro objeto de estudio.
La definici´n abstracta de grupo nace de problemas donde se involucran la teor´ de
o
ıa
n´meros, ecuaciones algebraicas y geometr´ y es este concepto que da origen al algeu
ıa,
´
bra abstracta.
Empezaremos con unas nociones b´sica de teor´ de n´meros, conceptos previosfundaa
ıa
u
mentales para comprender algunos otros propios de la teor´ de grupos. Los resultados
ıa
mas importantes del curso (Teorema de Lagrange, Teoremas de Sylow, Ecuaci´n de
o
clases...etc) son propios de los grupos finitos, que es donde centraremos nuestra atenci´n.
o
Algunas veces en las matem´ticas, mas que los objetos de estudio nos interesa las
a
propiedades de los mismos, esentonces donde aparacen aquellas aplicaciones que preservan las estructuras algebraicas, a los cuales llamaremos homomorfismos, le dedicaremos
buena parte del curso a este concepto.

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INDICE GENERAL

Cap´
ıtulo 1
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INTRODUCCION A GRUPOS.
1.1.

Propiedades De Los Enteros.

Enunciamos algunas propiedades de los enteros necesarios para avanzar en nuestro
curso.
(1) (Z+ esbien ordenado)Todo subconjunto no vac´ de Z tiene elemento m´
ıo
ınimo.
Es decir si A ⊆ Z y A = ∅, existe m ∈ A tal que m ≤ a para todo a ∈ A.
(2) Si a, b ∈ Z, con a = 0, decimos que a divide a b, que a es un divisor de b, o que b
es m´ltiplo de a, notado por a|b, si existe c ∈ Z tal que b = ac.
u
(3) Si a, b ∈ Z − {0}, existe un unico entero positivo d, llamado el m´ximo com´n
´
a
u...