Teoria de grupo

TEORÍA DE GRUPO
GALOIS

INTRODUCCION

Como introducción a la teoría de grupo consideramos relevante mostrar algunos indicios, y rastros de aspectos que se relacionan con esta teoría y que en cierta medida posibilitaron su nacimiento, ya que en matemática como, en toda disciplina, los conocimientos, los conceptos no nacen de la nada sino que se van encadenando y enriqueciendo a lo largo de lahistoria. Aunque si debemos reconocer que en ciertos momentos surgen ideas que revolucionan el pensamiento de la época. Como en este caso la idea de grupo. Los matemáticos del gran renacimiento musulmán ya en el siglo IX sabían cómo resolver un gran número de ecuaciones algebraicas.Además por otra parte los matemáticos italianos del siglo XVI contaban con una batería de ecuaciones mucho mayor que la de los inteligentes árabes, pero aun pensaban en función de misterios menores. Usaban toda una variedad de trucos. No eran malos adivinando. Y sabían cómoresolver ecuaciones de la forma [pic] + bx + c = d mediante formulas cuadráticas. Quizás no eran consientes del hecho que, en toda su simplicidad, la formula cuadrática es una notable jaula de símbolos, que indica que la solución a una ecuación cuadrática puede ser calculada mediante la manipulaciónde, y solo de, sus coeficientes. Son necesarias las operaciones familiares de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces. Cuando los coeficientes están a la vista, estas sencillas operaciones fijan las soluciones de la ecuación; determinan sus raíces; controlan su naturaleza. Resolución por radicales, así es como se conoce esta técnica.Por supuesto, hay multitud de ecuaciones dentro de las matemáticas, y a principio del siglo XIX, los matemáticos habían ganado ya la confianza para ir más allá de lo ordinario. ¿Ecuaciones cuadráticas, cúbicas o incluso de orden cuatro en los que unavariable x se eleva sobre si misma cuatro veces? Algo ya superado. El gran gauss había estudiado con clamoroso éxito ecuaciones de este tipo como también otros matemáticos como es el caso de Cardano. Entonces ocurre una curiosa división en la historia del pensamiento, algo que los matemáticos pueden iluminar pero nunca llegana explicar por completo. Las ecuaciones en las que la incógnita esta elevada a la quinta potencia como [pic]- [pic]+24=0, desconcertaban a los matemáticos renacentistas. De algún modo misterioso, los matemáticos comprendieron instintivamente que la naturaleza establecía una distinción entre las ecuaciones en las que la incógnitas esta elevada a la cuarta potencia y las ecuaciones en las que estaelevada a la quinta. Ya no había duda de que las raíces de dichas ecuaciones existen. Estaba probado por gauss en el teorema fundamental del algebra. Pero ¿es posible solucionar tales ecuaciones mediante el método de los radicales? Esta ya es otra pregunta completamente diferente. Galois demostró que no, las ecuaciones de orden cinco necesariamente no pueden serresueltas por manipulación aritmética directa de sus coeficientes y por la búsqueda incesante de sus raíces. De este modo, estaba duplicando el trabajo ya realizado por Abel y Ruffini. Pero el qué demostró Galois y el cómo lo demostró son dos cosas bien distintas, ya que para tratar un viejo problema Galois llegó a la creación de una nueva idea. A una idea profunda dentro de las matemáticas...