Teoria de grupos

ISFD No 127 “Ciudad del Acuerdo”

UNIDAD 1: TEOR´ DE GRUPOS
IA
En este cap´
ıtulo emprenderemos el estudio del objeto algebraico conocido como “grupo”, que sirve como uno de
los bloques de construcci´n fundamentales de la gran estructura que hoy se llama ´lgebra abstracta. En cap´
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ıtulos
posteriores echaremos una mirada a alguno de los otros, tales como: anillos, cuerpos y espaciosvectoriales.
Aparte de que ya se ha hecho tradicional comenzar con el estudio de los grupos, hay razones naturales convincentes para esta elecci´n. Para comenzar, los grupos, como sistemas con una sola operaci´n, se prestan a la m´s
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simple de las descripciones formales. Sin embargo, a pesar de esta simplicidad de descripci´n, los conceptos funo
damentales del ´lgebra, tales comohomomorfismo, cociente, etc., que juegan un papel tan importante en todas
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las estructuras algebraicas -en realidad en toda la Matem´tica- entran aqu´ en una forma pura y reveladora.
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Antes de que los detalles nos abrumen, echemos una ojeada r´pida al camino que vamos a recorrer. En el
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´lgebra abstracta tenemos ciertos sistemas b´sicos que, en la historia y el desarrollo de la Matem´tica,han
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alcanzado posiciones de importancia extraordinaria. Estos son, generalmente, conjuntos con cuyos elementos
podemos operar algebraicamente -por lo que entendemos que podemos combinar dos elementos del conjunto,
quiz´s de varias maneras, para obtener un tercer elemento, tambi´n del conjunto- y adem´s, suponemos que
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estas operaciones algebraicas est´n sujetas a ciertasreglas que se indican expl´
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ıcitamente en los que se llaman
axiomas o postulados definitorios del sistema. En este marco abstracto, intentaremos probar teoremas acerca de
estas mismas estructuras generales, esperando siempre que cuando estos resultados se apliquen a una realizaci´n
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particular y concreta del sistema abstracto, afluir´n hechos y conocimientos de la estructura interna del ejemploa
que se discuta y que habr´ quedado oscurecidos para nosotros por el volumen de informaci´n sin importancia
ıan
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que se nos presenta en todo caso particular.
Es importante subrayar que estos sistemas algebraicos y los axiomas que los definen, deben tener cierta naturalidad. Deben surgir de la experiencia que resulta de observar muchos ejemplos; deben ser ricos en resultados
significativos.Sentarse, hacer una lista de unos cuantos axiomas y proceder al estudio del sistema as´ descripto,
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no resulta un procedimiento adecuado de trabajo en Matem´tica. Admitimos que esto es lo que hacen algunos,
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pero la mayor parte de los matem´ticos, descartar´n estos ensayos como matem´ticas mediocres. Los sistemas
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que se estudian, son estudiados porque casos particulares de estasestructuras han aparecido una y otra vez,
porque alguien finalmente, not´ que estos casos particulares eran realmente concreciones de un fen´meno geno
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eral, porque alguien nota analog´ entre dos objetos matem´ticos aparentemente dis´
ıas
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ımiles y ello le dirige hacia
una investigaci´n sobre las ra´
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ıces de estas analog´
ıas.
Para citar un ejemplo, hacia finales del siglo XVIII ycomienzos del XIX se estaba estudiando caso tras caso
de este objeto matem´tico que hoy conocemos como grupo; pero, sin embargo, no fue sino hasta ya bastante
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avanzado el siglo XIX que se introdujo la noci´n de grupo abstracto.
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Las unicas estructuras algebraicas hasta ahora encontradas que han resistido el embate del tiempo y han
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sobrevivido y crecido en importancia, son las basadas en unamplio y alto pilar de casos particulares.
Entre matem´ticos, nadie discute ni la belleza ni la importancia de los grupos.
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Comentarios hist´ricos
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Las ideas que contiene la definici´n de grupo, estaban presentes en algunos trabajos de matem´ticos realizados
o
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durante la segunda mitad del siglo XVIII y todo el siglo XIX. Todas ellas se refer´ a casos particulares de
ıan
grupos,...