Teoria De Grupos

ISFD No 127 “Ciudad del Acuerdo”

UNIDAD 1: TEOR´ DE GRUPOS IA En este cap´ ıtulo emprenderemos el estudio del objeto algebraico conocido como “grupo”, que sirve como uno de los bloques de construcci´n fundamentales de la gran estructura que hoy se llama ´lgebra abstracta. En cap´ o a ıtulos posteriores echaremos una mirada a alguno de los otros, tales como: anillos, cuerpos y espaciosvectoriales. Aparte de que ya se ha hecho tradicional comenzar con el estudio de los grupos, hay razones naturales convincentes para esta elecci´n. Para comenzar, los grupos, como sistemas con una sola operaci´n, se prestan a la m´s o o a simple de las descripciones formales. Sin embargo, a pesar de esta simplicidad de descripci´n, los conceptos funo damentales del ´lgebra, tales como homomorfismo,cociente, etc., que juegan un papel tan importante en todas a las estructuras algebraicas -en realidad en toda la Matem´tica- entran aqu´ en una forma pura y reveladora. a ı Antes de que los detalles nos abrumen, echemos una ojeada r´pida al camino que vamos a recorrer. En el a a ´lgebra abstracta tenemos ciertos sistemas b´sicos que, en la historia y el desarrollo de la Matem´tica, han a a ´ alcanzadoposiciones de importancia extraordinaria. Estos son, generalmente, conjuntos con cuyos elementos podemos operar algebraicamente -por lo que entendemos que podemos combinar dos elementos del conjunto, quiz´s de varias maneras, para obtener un tercer elemento, tambi´n del conjunto- y adem´s, suponemos que a e a estas operaciones algebraicas est´n sujetas a ciertas reglas que se indican expl´ aıcitamente en los que se llaman axiomas o postulados definitorios del sistema. En este marco abstracto, intentaremos probar teoremas acerca de estas mismas estructuras generales, esperando siempre que cuando estos resultados se apliquen a una realizaci´n o particular y concreta del sistema abstracto, afluir´n hechos y conocimientos de la estructura interna del ejemplo a que se discuta y que habr´ quedadooscurecidos para nosotros por el volumen de informaci´n sin importancia ıan o que se nos presenta en todo caso particular. Es importante subrayar que estos sistemas algebraicos y los axiomas que los definen, deben tener cierta naturalidad. Deben surgir de la experiencia que resulta de observar muchos ejemplos; deben ser ricos en resultados significativos. Sentarse, hacer una lista de unos cuantosaxiomas y proceder al estudio del sistema as´ descripto, ı no resulta un procedimiento adecuado de trabajo en Matem´tica. Admitimos que esto es lo que hacen algunos, a pero la mayor parte de los matem´ticos, descartar´n estos ensayos como matem´ticas mediocres. Los sistemas a a a que se estudian, son estudiados porque casos particulares de estas estructuras han aparecido una y otra vez, porquealguien finalmente, not´ que estos casos particulares eran realmente concreciones de un fen´meno geno o eral, porque alguien nota analog´ entre dos objetos matem´ticos aparentemente dis´ ıas a ımiles y ello le dirige hacia una investigaci´n sobre las ra´ o ıces de estas analog´ ıas. Para citar un ejemplo, hacia finales del siglo XVIII y comienzos del XIX se estaba estudiando caso tras caso de este objetomatem´tico que hoy conocemos como grupo; pero, sin embargo, no fue sino hasta ya bastante a avanzado el siglo XIX que se introdujo la noci´n de grupo abstracto. o Las unicas estructuras algebraicas hasta ahora encontradas que han resistido el embate del tiempo y han ´ sobrevivido y crecido en importancia, son las basadas en un amplio y alto pilar de casos particulares. Entre matem´ticos, nadiediscute ni la belleza ni la importancia de los grupos. a Comentarios hist´ricos o Las ideas que contiene la definici´n de grupo, estaban presentes en algunos trabajos de matem´ticos realizados o a durante la segunda mitad del siglo XVIII y todo el siglo XIX. Todas ellas se refer´ a casos particulares de ıan grupos, principalmente grupos de permutaciones. El estudio de la resoluci´n de ecuaciones...